Спектрално представяне на непериодични сигнали
За спектралното представяне на непериодични сигнали се въвежда понятието спектрална плътност.
Спектралната плътност е сложна функция на честотата, която едновременно носи информация както за амплитудата, така и за фазата на елементарните синусоиди.
Спектралната плътност и сигналът са свързани чрез двойка преобразувания на Фурие:
(2.9)
(2.10)
Тъй като интегралните преобразувания на Фурие се използват за представяне на спектрите на непериодични сигнали, тези спектри са непрекъснати.
Спектралната плътност може да бъде представена като:
Реалната част от спектралната плътност е четна функция на честотата:
Въображаемата част от спектралната плътност е нечетна функция на честотата:
Ако запишем спектралната плътност в експоненциална форма, тогава можем да подчертаем нейния модул и аргумент:
Модулът на спектралната плътност се нарича амплитуден спектър на сигнала:
а аргументът на спектралната плътност е фазовият спектър на сигнала.
Двойката преобразувания на Фурие е от основно значение в телекомуникационната теория, тъй като много характеристики на сигнала са свързани помежду си чрез тези преобразувания.
Всички свойства на спектралната плътност са комбинирани в основните теореми за спектрите.
Спектърни теореми
I. Свойството на линейността.
Ако има определен набор от сигнали с, ..., тогава претеглената сума от сигналите се преобразува от Фурие, както следва:
(2.11)
Ето произволни числови коефициенти.
II. Теорема за изместване.
Да предположим, че съвпадението е известно за сигнал. Помислете за същия сигнал, но се появява секунди по-късно. Приемайки въпроса като нов произход на времето, ние ще обозначим този изместен сигнал като. Нека въведем подмяна на променливи:. Тогава,
Модулът на комплексното число за всеки е равен на 1, следователно амплитудите на елементарните хармонични компоненти, които съставляват сигнала, не зависят от неговото положение на оста на времето. Информация за тази характеристика на сигнала се съдържа в честотата на зависимостта на аргумента от неговата спектрална плътност (фазов спектър).
III. Теорема за мащаба.
Да предположим, че оригиналният сигнал е мащабиран във времето. Това означава, че ролята на времето се играе от нова независима променлива (- някакво реално число.) Ако> 1, тогава оригиналният сигнал е „компресиран“; ако 0
V. Теорема за конволюцията.
Както знаете, когато сигналите се сумират, техните спектри се добавят. Спектърът на произведението на сигналите обаче не е равен на произведението на спектрите, а се изразява чрез някаква специална интегрална връзка между спектрите на факторите.
Позволяваме и са два сигнала, за които са известни съответствия,. Нека образуваме произведението на тези сигнали: и изчислим спектралната му плътност. Като основно правило:
(2.18)
Прилагайки обратното преобразуване на Фурие, ние изразяваме сигнала по отношение на неговата спектрална плътност и заместваме резултата в (2.18):
Променяйки реда на интеграция, ще имаме:
(2.19)
Извиква се интегралът отдясно конволюция функции V и U. Символично операцията на конволюцията се обозначава като *
По този начин спектралната плътност на произведението на два сигнала, до постоянен числов фактор, е равна на конволюцията на спектралните плътности на факторите:
(2,20)
Конволюционната операция е комутативна, т.е. позволява промяна на реда на преобразуваните функции:
Теоремата за конволюцията може да бъде обърната: ако спектралната плътност на даден сигнал е представена като продукт, и
и тогава сигналът е конволюция от сигнали и, но не в частния, а във времевата област:
(2.21)
Vi. Теорема на Планшерел
Нека два сигнала и, в общия случай, сложни, да бъдат определени чрез техните обратни преобразувания на Фурие:
.
Нека намерим точковото произведение на тези сигнали, изразяващо един от тях, например, по отношение на неговата спектрална плътност:
Тук вътрешният интеграл е спектралната плътност на сигнала, така че:
(2.22)
Скаларното произведение на два сигнала до коефициент е пропорционално на точковото произведение на техните спектрални плътности.