Трансформация на Фурие - Физическо значение на БПФ

За какво е бързото преобразуване на Фурие или дискретно преобразуване на Фурие (DFT)? Нека се опитаме да го разберем.

Да предположим, че имаме синусова функция x = sin (t).

Максималната амплитуда на това трептене е 1. Ако го умножим по някакъв коефициент А, ще получим същата графика, опъната вертикално по А пъти: x = Asin (t).

Периодът на трептене е 2π. Ако искаме да увеличим периода до T, тогава трябва да умножим променливата t по коефициент. Това ще разтегне графиката хоризонтално: x = A sin (2πt/T).

Честотата на трептенията е противоположна на периода: ν = 1/T. Те говорят и за кръговата честота, която се изчислява по формулата: ω = 2πν = 2πT. Откъде: x = Грех (ωt).

И накрая, има фаза, наречена φ. Той определя изместването на графика на флуктуацията наляво. Комбинацията от всички тези параметри води до хармонично трептене или просто хармоничен:

Изразът на хармоника от гледна точка на косинуса изглежда много подобен:

Няма голяма разлика. Достатъчно е да промените фазата с π/2, за да преминете от синус в косинус и обратно. По-нататък имаме предвид под хармоника косинусовата функция:

x = A cos (2πt/T + φ) = A cos (2πνt + φ) = A cos (ωt + φ) (1)

В природата и технологиите вибрациите, описани от такава функция, са изключително често срещани. Например махало, струна, водни и звукови вълни и др. И т.н.

Преобразуваме (1) по формулата за косинуса на сумата:

x = A cos φ cos (2πt/T) - A sin φ sin (2πt/T) (2)

Нека да изберем елементи в (2), които са независими от t, и да ги обозначим като Re и Im:

x = Re cos (2πt/T) - Im sin (2πt/T) (3)
Re = A cos φ, Im = A sin φ

Стойностите на Re и Im могат да се използват за еднозначно възстановяване на амплитудата и фазата на оригиналната хармоника:

и (4)

Сега нека вземем обратното преобразуване на Фурие:

---