Код на Fortran 2
Екип
Ръководител
Малко история:
Naviers-Stokes Incomprevable в приближението на Bousinnesq:
| $ \ вляво \ \ начало div (\ vec) В В & = & В 0 \\ \ rho & = & В \ rho_r (1- \ alpha (T-T_r)) \\ \ frac> & = & \ frac \ vec (P) - \ frac \ vec + \ eta \ Delta (\ vec) \\ \ frac & = & \ kappa \ Delta T \\ \ край \ нали. $ |
| Система (1) |
С твърдите гранични условия:
Параметърът $ A = \ frac $, както и изборът на гранични условия влияят върху стойността на $ Ra_c $.
Потърсете критичния Рейли: $ A = \ frac \ rightarrow \ infty $
Проводимо състояние:
В този случай System (1) се интегрира лесно с помощта на $ \ vec= \ vec $ и става:
| $ \ вляво \ \ начало T_c = В T_1- \ fracz \\ \ rho_c = В \ rho_r (1- \ alpha (T_c-T_r)) \\ P_c = P_r- \ rho_r gz + \ rho_r \ alpha g (T_1-T_r) z- \ rho_r \ alpha g \ fracz ^ 2 \\ \ край \ нали. $ |
| Система (2) |
Чрез промяна на променлива: $ \ left \ TВ = В T_c- \ theta \\ P = В P_c - \ rho_r \ Pi \\\ end \ right. $ За да се вземе предвид "пертурбативният" аспект на проблем.
След това получаваме, като пропускаме * и nottant $ Pr = \ frac $ броя на Prandtl:
| $ \ вляво \ \ начало \ frac + \ frac = 0 \ quad (*) \\ \ frac = - \ frac + Pr \ Delta u \\ \ frac = - \ frac + Pr \ Delta u + Ra Pr \ theta \\ \ frac = w + \ Delta \ theta \\ \ край \ нали. $ |
| Система (3) |
С граничните условия:
Текуща функция:
| $ \ вляво \ \ начало \ frac = Ra Pr \ frac + Pr \ Delta ^ 2 \ psi \\ \ frac = \ frac + \ Delta \ Theta \\ \ край \ нали. $ |
| Система (4) |
Проблем със собствената стойност:
Чрез инжектиране на тази форма на решение в системата (4) се получава:
$
\ вляво \ \ начало
s (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Psi = -i k_1 Ra Pr \ Theta + Pr (D ^ 2-k_1) ^ 2 \ Psi \ quad (*) \\
s \ Theta = -i k_1 \ Psi + (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Theta \ quad (**) \\
\ край
\ нали.
$
С: $ \ Theta = 0 \ text \ Psi = 0 \ text< et >D \ Psi = 0 \ quad \ text $ (пишем $ D = \ frac $)
$ [s- (D ^ 2-k_1 ^ 2)] [s-Pr (D ^ 2-k_1 ^ 2)] (D ^ 2-k_1 ^ 2) \ Psi = -k_1 ^ 2 Ra Pr \ Psi $
И тъй като $ \ Psi = 0 $ за $ z = 0 $ или $ z = 1 $ граничните условия стават:
Рейли критикува:
С $ (D ^ 2-k_1 ^ 2) ^ 2 \ Psi = 0, \ Psi = 0 \ текст< et >D \ Psi = 0 $ при z = 0 и z = 1.
За удобство на това, което следва, ще преведем от тази точка произхода на $ z $ в средата на домейна и следователно граничните условия ще бъдат съответно в $ z = -1/2 $ и $ z = 1/2 $.
Чрез задаване на $ k_1 ^ 2Ra = \ tau ^ 3k_1 ^ 6 $ намираме:
Което ни дава режимите:
$ \ начало
cos \ frac12 q_0 & cosh \ frac12 q & cosh \ frac12 q ^ * \\
-q_0sin \ frac12 q_0 & q sinh \ frac12 q & В q ^ * sinh \ frac12 q ^ * \\
cos \ frac12 q_0В & \ frac12 (i \ sqrt-1) cosh \ frac12 q & - \ frac12 (i \ sqrt + 1) cosh \ frac12 q ^ *
\ край
\ begin A_0 \\ A \\ A ^ * \ end = 0 $
Тогава функцията $ Ra (k_1) $ допуска минимум в $ k_1 = 3.117 $, което съответства на критичния релей, защото е първата, достигната във фазата на нагряване.