Как мога да определя нулите на квадратните функции

По темите за линейните и квадратни функции

Тази публикация обяснява колко нули има една квадратна функция и как тя може да бъде изчислена. Тук ще намерите два раздела. Първият обяснява колко нули има една квадратна функция, а вторият обяснява решението на квадратни уравнения с помощта на формулата p-q или abc, с помощта на която можете да изчислите нули на квадратни функции.

Малко вход

Нулите са важни точки във функцията. Те играят важна роля, особено в примери за приложение, тъй като отбелязват видни точки. Например, ако хвърлянето на топка се моделира с помощта на квадратна функция, една от нулите маркира точката, в която тя се удря в земята. Ако мост е моделиран с помощта на квадратна функция, това показва точката, в която мостът докосва земята.

Квадратичната функция може да има една, две или изобщо да няма нули. Това може да бъде илюстрирано графично.

Ако една квадратна функция има само една нула, графиката на функцията може да пресича оста x само веднъж. Това е само случаят, ако върхът на параболата лежи на оста x. По този начин върхът на функцията съответства на нулата на функцията.

Ако една квадратна функция има две нули, параболата пресича два пъти оста x. Това е точно случаят, когато върхът на парабола, който се отваря нагоре, лежи под оста x или връхът на парабола, който се отваря надолу, лежи над оста x.

Ако квадратна функция няма нула, параболата изобщо не пресича оста x. Това е точно случаят, когато върхът на парабола, който се отваря нагоре, лежи над оста x или върхът на парабола, който се отваря надолу, е под оста x.

Тъй като функционалната стойност на параболата се увеличава (с параболи, които се отварят нагоре) или намалява (с параболи, които се отварят надолу) в двете х-посоки от върха, не може да има повече от две нули. Тъй като при трета нула, стойностите на функциите трябва да намалят отново в даден момент (с отворени нагоре параболи) или да се увеличат (с отворени надолу параболи).

Нула описва точката, в която стойността на функцията приема кой нула. Следователно можете да го изчислите, ако решите уравнението \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \) за x. За да се реши това уравнение, има две формули, които p-q- и abc формула (често се нарича Среднощна формула определен). Няма значение кой се използва, тъй като и двамата водят до един и същ резултат. Следователно можете да изберете кои от тях ви харесват повече или кои вече знаете от училище.

Както за p-q, така и за формулата abc, първо ще намерите разгънат текст, който обяснява извеждането на тази формула. Тук можете да научите откъде идва формулата и защо всъщност работи. След това ще намерите три разгънати текста, които обясняват прилагането на формулата на различни примери, включително видеоклип в You-Tube на същата тема. Изберете формата на обяснение, която ви харесва повече.

Изчисляване на нулата (ите) на квадратна функция с помощта на p-q формулата:

Ако за \ (x \) трябва да бъде решено квадратно уравнение на формата \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), може да се използва p-q формулата. Това може да се получи чрез решаване на горното уравнение за \ (x \). За това използвате квадратното разширение.

1-ва стъпка: Уравнението се завършва с квадрата, така че бином на формата \ (\ вляво (x + \ frac

\ вдясно) ^ 2 = x ^ 2 + px + \ вляво (\ frac

\ вдясно) ^ 2 \) се генерира.

2-ра стъпка: Биномиал се генерира с помощта на биномните формули.

3-та стъпка: Уравнението е решено за \ (x \).

Обяснителни текстове

Можете да намерите три различни примера за изчисляване на нули на квадратни функции зад следните разгънати текстове:

Ако искате да изчислите нулите на квадратната функция \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), първо задавате уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ ляво (> \ дясно) \ pm \ sqrt \ дясно) ^ 2-q> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

За да може да се използва pq формулата, квадратното уравнение трябва да има формата \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), т.е. префактора \ (a = 1 \) преди \ (x ^ 2 \) имам. За да постигнем това, първо разделяме уравнението на префактора \ (a = -3 \)

Сега уравнението има желаната форма и се прилагат \ (p = 2 \) и \ (q = 1 \). Ако сега вмъкнем във формулата p-q, получаваме:

Следователно коренът на функцията \ (f \) е в позициите \ (x_1 = x_2 = -1 \). Проба потвърждава резултата:

Тъй като функцията има само един корен, върхът също трябва да е в точката \ (x = -1 \).

Ако искате да изчислите нулите на квадратната функция \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), първо задавате уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ ляво (> \ дясно) \ pm \ sqrt> \ дясно) ^ 2-q> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

За да може да се използва pq формулата, квадратното уравнение трябва да има формата \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), т.е. префактора \ (a = 1 \) преди \ (x ^ 2 \) имат, какъвто е случаят тук. Следователно: \ (p = 4 \) и \ (q = 3 \)

Ако сега вмъкнем във формулата p-q, получаваме:

Нулата на функцията \ (f \) следователно е в позициите \ (x_1 = -1 \) и \ (x_2 = -3 \). Проба потвърждава резултата:

Ако някой иска да изчисли нулите на квадратната функция \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), първо задава уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ ляво (> \ дясно) \ pm \ sqrt> \ дясно) ^ 2-q> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

Няма реално решение за \ (x_ \), тъй като коренът на отрицателно число не може да бъде извлечен в реалното. Това означава, че функцията няма нула.

Обяснителни видеоклипове

И още една математическа песен, която никога да не забравя закачливата фраза:

Изчисляване на нулата (ите) на квадратна функция, използвайки формулата abc:

Ако за \ (x \) трябва да се реши квадратно уравнение на формата \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \), може да се използва формулата abc. Това може да се получи чрез решаване на горното уравнение за \ (x \). За това използвате квадратното разширение.

1-ва стъпка: Първо, коефициентът \ (a \) пред \ (x ^ 2 \) се елиминира чрез разделяне на уравнението на \ (a \).

2-ра стъпка: Уравнението се завършва с квадрата, така че бином на формата \ (\ вляво (x + \ frac\ вдясно) ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ вляво (\ frac\ вдясно) ^ 2 \) се генерира.

3-та стъпка: Биномиал се генерира с помощта на биномните формули.

4-та стъпка: Уравнението е решено за \ (x \).

Обяснителни текстове

Можете да намерите три различни примера за изчисляване на нули на квадратни функции зад следните разгънати текстове:

Ако искате да изчислите нулите на квадратната функция \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), първо задавате уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

В този случай се прилагат \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) и \ (c = -3 \). След това се вмъква във формулата abc:

Проба потвърждава резултата:

Тъй като функцията има само един корен, върхът също трябва да е в точката \ (x = -1 \).

Ако някой иска да изчисли нулите на квадратната функция \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), първо задава уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

В този случай се прилагат \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) и \ (c = 3 \). След това се вмъква във формулата abc:

Това води до \ (x_1 = \ frac = -1 \) и \ (x_2 = \ frac = -3 \) за нулите. Проба потвърждава резултата:

Ако искате да изчислите нулите на квадратната функция \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), първо задавате уравнението на функцията, равно на нула, \ (f (x) = 0 \).

Следователно трябва да се прилага следното: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни уравнения на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

В този случай се прилагат \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) и \ (c = 14 \). След това се вмъква във формулата abc:

Тъй като отрицателният корен няма решение в реалното, функцията \ (f \) няма корен.

Обяснителни видеоклипове

И още една математическа песен, която никога да не забравя закачливата фраза:

Най-важните неща с един поглед

Първо упражнение

Сега можете сами да станете активни. Решете поне две от следните задачи. Ако все още не можете да го направите, това е добре. Погледнете отблизо пробния разтвор. В раздел „Практиката прави перфектни“ имате още повече възможности да практикувате цялото нещо.

Задача 1

Изчислете корена (ите) на функциите

а) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)

б) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)

° С) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)

д) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)

упражнение 2

Решете следните уравнения.

а) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)

б) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)

° С) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)

Задача 3

а) Скицирайте квадратна функция с нула, една или две нули. Какво ги отличава?

б) Решете без изчисление дали следните функции имат една, две или никакви нули.

Решение 1

а) Нулите са на \ (x _ = \ pm2 \). За да определим нулите, първо задаваме функцията на нула:

\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)

Нулите вече могат да бъдат определени с помощта на прости трансформации на еквивалентност, p-q или формулата abc.

Прости еквивалентни трансформации:

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)

Това води до \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

p-q формула:

Това води до \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

abc формула:

Това води до \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

б) Функцията няма нула. За да определим това, първо настройваме функцията на нула:

Уравнението може да бъде решено с помощта на p-q или abc формула.

p-q формула:

Тъй като коренът на отрицателно число няма решение в реално изражение, уравнението няма решение и следователно функцията няма нула.

abc формула:

Тъй като коренът на отрицателно число няма решение в реално изражение, уравнението няма решение и функцията следователно няма нула.

° С) Нулите са на \ (x_1 = 0 \) и \ (x_2 = 2 \). За да определим нулите, първо задаваме функцията на нула:

Нулите вече могат да бъдат определени с помощта на прости трансформации на еквивалентност, p-q или формулата abc.

Прости еквивалентни трансформации:

\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | Без \ (x \)

Продуктът е нула тогава и само ако един от двата фактора е нула. Продуктът \ (\ cdot \) е нула тогава и само ако \ (x_1 = 0 \) или \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ leftrightarrow \) \ (x_2 = 2 \)

p-q формула:

Това означава, че \ (x_1 = 1-1 = 0 \) и \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)

abc формула:

д) За да определим нулата (ите), първо задаваме функцията на нула:

p-q формула:

Това означава, че \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) и \ (x_2 = 2-3 = -1 \)

abc формула:

Решение 2

а) Уравнението първо се поставя във формата \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) и след това се решава с формулата abc или p-q.

\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)

Решение, използвайки формулата p-q:

Квадратното уравнение няма реално решение.

Решение с помощта на формулата abc:

Квадратното уравнение няма реално решение.

б) Уравнението първо се поставя във формата \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) и след това се решава с формулата abc или p-q.

\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)

Решение, използвайки формулата p-q:

Решение с помощта на формулата abc:

° С) Уравнението първо се поставя във формата \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) и след това се решава с формулата abc или p-q.

\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3x \)

\ (\ leftrightarrow \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)

Решение, използвайки формулата p-q:

Решение с помощта на формулата abc:

Решение 3

а)

Функциите се различават по положението на върха им. Разграничаваме два случая: парабола, отворена нагоре, и парабола, отворена надолу.

Лъжи няма нула пред,…

така че върхът е над оста x, когато параболите се отварят нагоре.

така че върхът е под оста х, когато параболите се отварят надолу.

Лъжи нула преди върхът лежи върху него по оста x както с отворени нагоре, така и надолу параболи. По този начин нулата съответства на върха.

Лъжа две нули пред,…

така че върхът е под оста х, когато параболите се отварят нагоре.

така че върхът е над оста x, когато параболите се отварят надолу.

б) Графиката на функцията \ (f_1 \) е парабола, която се отваря нагоре. Върхът може да се прочете директно от уравнението на функцията с \ (S_ (3 | 2) \). По този начин върхът е над оста x и функцията \ (f_1 \) няма нула.

Графиката на функцията \ (f_2 \) е парабола, която се отваря надолу. Върхът може да се прочете директно от уравнението на функцията с \ (S_ (1 | 2) \). По този начин върхът се намира над оста x и функцията \ (f_2 \) има точно две нули.

Графиката на функцията \ (f_3 \) е парабола, която се отваря надолу. Върхът може да се прочете директно от уравнението на функцията с \ (S _- \ frac | 0 \). По този начин върхът лежи на оста x и функцията \ (f_3 \) има точно една нула, която съответства на върха.