Функционален анализ, 03 лекция (от 21 септември)

От wiki на eSyr.

Определение 2. За две функции f и g се казва, че са еквивалентни, ако мярката на множеството, на която те не съвпадат, е равна на 0. Тя се обозначава с f (x)

Теорема. Ако f (x) е измерим на измерим E, тогава всяка функция, еквивалентна на него, е измерима на това множество.

Доказателства. E = E1 ∪ E2, E1 = E [f = g], E2 = E [f ≠ g] | E2 | = 0 → | E1 | = | E |

Определение 3. Някои свойства се държат почти навсякъде на измеримо множество E, ако не се държат на някакво подмножество на множество E от мярка 0.

[редактиране] Класове на измерими функции

Теорема. Ако f-ion f (x) е непрекъснат почти навсякъде на измеримо множество E, тогава е измеримо на това множество

Лема. Всяка непрекъсната функция е измерима на затворен набор.

Доказателство: Вземете последователност xn, която се сближава с x. Нека докажем, че x принадлежи към множеството: f (xn) ≥ a → f (x) ≥ a → x ∈ F [f ≥ a]

Доказателство за теоремата. E = E1 ∪ E2, | E1 | = 0. От теорема 8 в раздел 2 следва, че E

принадлежи на E2 | E

Коментирайте. Почти навсякъде имп. трябва да се различава от еквивалент. продължение Пример е функцията на Дирихле, която е непрекъсната навсякъде, но еквивалентна на непрекъсната функция.

[редактиране] Свойства на измерими функции

Теорема 1. Нека f (x) се измери на E. тогава | f (x) |, f (x) + C, C × f (x) се измери на E. Ако g (x) се измери на E, тогава E (f> g) измерим.

---