Един владетел • Константин Ноп • Научно-популярни задачи върху „Елементите“ • Математика
Даден кръг с център ОТНОСНО и точка И извън кръга. и) Изчертава се диаметърът на кръга. Използване само на линийка *, спуснете перпендикуляра от точка И за този диаметър. б) Чрез точка И изчертава се права линия, която няма общи точки с окръжността. Използвайки само линийка, спуснете перпендикуляра от точка ОТНОСНО на тази линия.
*Забележка. „Владетел“ при строителни проблеми винаги означава не измервателен инструмент, а геометричен - с негова помощ можете да чертаете само прави линии (през две съществуващи точки), но не и да измервате разстоянието между точките. В допълнение, геометричната линийка се счита за едностранна - не може да се използва за изчертаване на успоредна права линия, като просто се прикрепи едната страна на линийката към две точки и се начертае линия по другата страна.
Съвет 1
Използвайте краищата на диаметъра, а не центъра на кръга.
Съвет 2
Ъгълът с върха върху кръга, базиран на диаметъра му, е прав. Знаейки това, можете да нанесете две височини в триъгълника, образуван от краищата на диаметъра и точката И.
Съвет 3
Опитайте се да разрешите първо по-прост случай от посочения в параграф б), - когато тази линия пресича кръга.
и) Нека бъде Слънце - даден диаметър (фиг. 1). За да разрешите проблема, просто запомнете първите два съвета: ако чертаете прави линии AB и AC, и след това свържете точките на тяхното пресичане с окръжността с желаните върхове на триъгълника ABC, тогава получавате две височини на този триъгълник. И тъй като височините на триъгълника се пресичат в една точка, правата CH ще бъде третата височина, тоест желаният перпендикуляр от И до диаметър Слънце.
б) Решението на тази точка обаче, дори в случая, даден в третия съвет, не изглежда по-просто: да, можем да начертаем диаметри, да свържем краищата им и да получим правоъгълник ABCD (Фиг. 2, където, за простота, точката И маркирани върху кръга), но как това ни доближава до изграждането на перпендикуляр от центъра на кръга?
Но как: от триъгълника AOB равнобедрен, след това перпендикулярен (височина) Добре ще премине през средата К партии AB. Това означава, че задачата се свежда до намиране на средата на тази страна. Изненадващо, ние вече не се нуждаем от кръга и точката д също като цяло "излишен". И тук е сегментът CD - не е излишно, но върху него не ни трябва никаква конкретна точка, а напълно произволна точка Е.! Ако обозначим с L пресечна точка БЪДА и AC (фиг. 3) и след това удължете AE преди пресичане с продължение Пр.н.е. в точката М, след това направо LM Това е решението на всички наши грижи и проблеми!
истина, много подобно, Какво LM пресича AB по средата? Това е вярно. Опитайте се да го докажете. Отлагаме доказателството до края на решението на проблема.
И така, научихме как да намерим средата на сегмента AB, което означава, че те са се научили да спускат перпендикуляра на AB от центъра на кръга. Но какво да правим с първоначалния проблем, при който тази линия не пресича окръжността, както е показано на фиг. 4?
Ще се опитаме да намалим проблема до вече решения. Това може да се направи например по този начин.
Първо, конструирайте права линия, симетрична на дадената около центъра на кръга. Конструкцията е ясна от фиг. 5, на която тази линия е хоризонтална под кръга, а изградената линия, симетрична на нея, е маркирана в червено (две сини точки могат да бъдат взети на кръга съвсем произволно). В същото време ще водим през центъра ОТНОСНО друга права линия, перпендикулярна на едната от страните на правоъгълника, получена в кръг, за да се получат на тази права права два сегмента, равни по дължина.
Като имаме две успоредни линии, на едната от които вече са маркирани два края и средата на сегмента, вземаме произволна точка т (например върху кръг) и конструирайте такава точка С, че направо TS ще бъде успоредна на съществуващите две линии. Тази конструкция е показана на фиг. 6.