Смесена творба е
Смесена работа вектори - скаларно произведение на вектор от векторното произведение на вектори и:
.
Понякога се обажда тройна точка продукт вектори, най-вероятно поради факта, че резултатът е скаларен (по-точно псевдоскаларен).
Геометрично значение: Модулът на смесения продукт е числено равен на обема на паралелепипеда, образуван от вектори .
Съдържание
- Смесеният продукт е кососиметричен по отношение на всички негови аргументи:
- Смесеният продукт в дясната декартова координатна система (в ортонормалната основа) е равен на детерминанта на матрицата, съставена от вектори и:
- Смесеният продукт в лявата декартова координатна система (в ортонормалната основа) е равен на детерминантата на матрицата, съставена от вектори и взета със знак минус:
- Ако всеки два вектора са колинеарни, тогава с който и да е трети вектор те образуват смесен продукт, равен на нула.
- Ако три вектора са линейно зависими (т.е. копланарни, лежат в една и съща равнина), тогава смесеният им продукт е равен на нула.
- Геометрично значение - смесеният продукт е равен по абсолютна стойност на обема на паралелепипеда (виж фигурата), образуван от вектори и; знакът зависи от това дали тази тройка от вектори е дясна или лява.
- Квадратът на смесения продукт на вектори е равен на детерминанта на Грам, определена от тях [1]: 215 .
- Смесена творба е удобно написана с помощта на символа Levi-Civita (тензор):
(в последната формула, в ортонормална основа, всички индекси могат да бъдат записани като по-ниски; в този случай тази формула напълно повтаря формулата с детерминанта, но в този случай коефициентът (-1) за левите основи се получава автоматично).
В измерното пространство естественото обобщение на смесен продукт, който има значението на ориентиран обем, е детерминанта на матрица, съставена от редове или колони, изпълнени с координати на вектори. Значението на тази величина е ориентиран -размерен обем (има се предвид стандартна основа и тривиална метрика).