Решаване на лимити чрез разкриване на несигурности
Основни теореми за границите
Теорема 1.(за уникалността на границата на функция). Функцията не може да има повече от една граница.
Последствие. Ако две функции е(х) и ж(х) са равни в някаква околност на точката, с възможно изключение на самата точка, тогава или те имат една и съща граница в, или и двете нямат граница в тази точка.
Теорема 2.Ако функциите f (x) и g (x) имат граници в дадена точка, тогава:
един) границата на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на границите на членовете, тези.
(3)
2) границата на произведението на функциите е равна на произведението на пределите на факторите, тези.
(4)
3)коефициентът на две функции е равен на коефициента на разделяне на делимата граница на делителната граница, ако делителната граница не е нула, тези.
(пет)
Коментирайте.Формулите (3) и (4) са валидни за произволен краен брой функции.
Следствие 1.Границата на константа е равна на най-константата, тези.
Следствие 2.Постоянният множител може да бъде изваден от граничния знак, тези.
Пример 3.Намерете лимита:
Пример 4.Намерете лимита:
Решение. Първо се уверете, че границата на делителя не е нула:
По този начин формулата (5) е приложима и следователно,
Теорема 3(за границата на сложна функция). Ако има краен лимит
и функцията f (u) е непрекъсната в точката, тогава
С други думи, за непрекъснати функции граничните и функционалните символи могат да се сменят.
Прякото прилагане на гранични теореми обаче не винаги води до целта. Например, теоремата за частното ограничение не може да бъде приложена, ако границата на делителя е нула. В такива случаи е необходимо първо да трансформираме функцията идентично, за да можем да приложим следствието от теорема 1.
Пример 5.Намерете лимита:
Решение. Теоремата за частното ограничение не е приложима тук, тъй като
Преобразувайте дадената дроб като разчитате на числителя и знаменателя. В числителя получаваме
корени на квадратичен трином (ако сте забравили как да решавате квадратни уравнения, отидете тук). Сега отменяме фракцията и, използвайки следствието от теорема 1, изчисляваме границата на тази функция:
В началото на страницата
Направете тест на тема Limit
Решаване на лимити чрез разкриване на несигурности