Производен и производен оператор, LightCone

Значението на диференциалното и интегрално смятане трудно може да бъде надценено. Всъщност съвременната наука започва с откриването на Нютон на законите на механиката и разработването на съответния математически апарат за анализ на последиците от тези закони. Оттогава математиката е била и остава тясно преплетена с физиката. Понякога за физиката се използва апарат, разработен от математици, какъвто е случаят с общата теория на относителността на Айнщайн. Понякога физиците от собствени съображения стигат до нови математически структури, например това е случаят с обобщените функции, първата от които е въведена от Дирак за нуждите на квантовата механика.

Производната и интегралът се основават на концепциите за безкрайно малко и възможността за разделяне на сегмент до безкрайност. От гледна точка на физиката съществуването на минимална дължина противоречи на теорията на относителността, тъй като различните наблюдатели ще виждат различна дължина. Има също така основателна причина да се смята, че разделянето на отсечка на линия до безкрайност също е невъзможно, тъй като понятието дължина губи значението си на малки разстояния (от порядъка на \ (\ displaystyle 10 ^ \) m.). Въпреки това, цялата съвременна наука (включително квантовата механика и теорията на струните) е наситена с диференциално смятане. Дори дискретни резултати като квантуване на енергийните нива на атомите се получават чрез разглеждане на непрекъснати функции и диференциални уравнения.

Производната на функция във всяка точка е по дефиниция съотношението на интервала \ (\ displaystyle \ Delta y \) към интервала \ (\ displaystyle \ Delta x \) в близост до тази точка, когато дължините на тези интервали са склонни до нула. Фигурата показва две точки като пример със съответни интервали.

---