Преведено приближение на Поасон с метода на Stein - PDF Безплатно изтегляне

1 Цюрих Отворено хранилище и архив Университет в Цюрих Главна библиотека Strickhofstrasse 39 CH-857 Цюрих Година: 26 Преведено приближение на Поасон с метод на Щайн Röllin, Adrian Публикувано в Цюрих Отворено хранилище и архив, Университет в Цюрих ZORA URL: Дисертация Публикувана версия Първоначално публикувана в: Röllin, Adrian. Преведено приближение на Поасон с метода на Щайн. 26, Университет в Цюрих, Факултет по природни науки.

метода

2 Преведено сближаване на Поасон с метода на Щайн Дисертация за получаване на докторска степен по естествени науки Dr. sc. nat.) представен пред Факултета по математика и естествени науки в Университета в Цюрих от Adrian Röllin von Freienbach SZ Докторантски комитет проф. д-р sc. Andrew Barbour Chair) Проф. Д-р Ервин Болтаузен проф. Д-р Луис Х.Й. Чен Сингапур) Цюрих, 26

7 iv C. Stein 986). Приблизително изчисление на очакванията, бележки за лекциите на IMS. Институт по математическа статистика, Хейуърд.

9 vi, както в Chen и Shao 25). Граница по горния член за всички a, b Ê с b 10 за някои λ>. С това е възможно да се формулира теорема за приближение, в която се получава сближаване, ако W W W) 2 не се колебае много; тоест, ако очакваното отклонение W W от W е приблизително еднакво за всички възможни стойности на W. Ако сега се въведе допълнителното условие, че почти сигурно vii W W, 3), получаваме резултати от приближение за преведеното разпределение на Поасон в обща вариация. Въпреки че количествата от формуляра 2) не участват пряко в изчисленията, става ясно, че условие 3) имплицитно води до това, че 2) трябва да е малко.

14 Съдържание xi Въведение Апроксимация на сумите на условно независими променливи чрез преведеното разпределение на Поасон 25, Бернули) Симетрично и центрирано биномиално приближение на сумите на локално зависими случайни променливи 26, подадено) Преведено приближение на Поасон с помощта на сменяеми двойки съединения 26, подадено). 49

22 Показвам сега в случай на приближение на бинома чрез преведено разпределение на Поасон, как работи основният подход, тоест как оценяваме l.h.s. на < σ 2 n fs n ) S n µ n )fs n ) >= hs n) hy n). 6) По този начин нека ξ i, i =. n бъде i.i.d. случайни показатели с очакване p и S n както преди. Може да се конструира двойно диференцируема функция за интерполация F: Ê Ê, така че Fj) = fj), F j) = fj) за всички j. По този начин можем да заменим равенството 6) с < σ 2 n F S n ) S n µ n )FS n ) >= hs n) hy n). 7) Спомнете си, че µ n = np и σn 2 = np p), така имаме < σ 2 nf S n ) S n µ n )FS n ) >= Забележете сега, че чрез разширяване на Тейлър n < p p)f S n ) ξ i p)fs n ) >. 8) i = pp) f S n) = pp) f S inp) R i, 9) ξ p) fs n) = ξ p) fs inp) ξ np) 2 FS inp) R i, 2, 2) където S in = S n ξ i и R i, = pp) ξ np) R i, 2 = ξ ip) 3 FS inp sξ ip)) ds, s) f S inp sξ ip)) ds Сега, ξ ip) = и ξ i и S in са независими и следователно, поставяйки 2) и 9) в rhs от 8), всички условия с изключение на останалите условия се отменят и накрая получаваме n < R, R,2 >= hsn) hy n) 2) Наивна оценка, например за R, 2, би дала R, 2 2 F ξ p 3 C ξ p 3 за абсолютна константа C, която идва от интерполацията), където оценката FC σn 2 не може да се подобри. Това обаче не е достатъчно, тъй като тогава бихме получили окончателната оценка 2σ 2 n hsn) hz) np p) ξ p 2 C n ξ p 3 = O) np p) 7