Нелинеен резонанс

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ

Държавен университет в Нижни Новгород Н.И. Лобачевски

Избрани глави от теорията за нелинейните трептения: теория на резонансното възмущение

Препоръчано от Методическата комисия на Физическия факултет за студенти от УНН, обучаващи се в направление 011200 "Физика"

UDC 530.182 BBK V 22.213 + 22.311

М 20 Малишев А.И. ИЗБРАНИ ГЛАВИ ОТ ТЕОРИЯТА НА НЕЛИНЕЙНИТЕ КОЛИВАНИЯ: ТЕОРИЯ ЗА РЕЗОНАНТНОТО ОБРЪЩАНЕ: учебно помагало. - Нижни Новгород: Държавен университет в Нижни Новгород, 2012. - стр. 21.

Доцент на катедра „Теория на трептенията и автоматично управление на UNN“, д-р. О. Канаков.

Това ръководство представя материал по темата „Теория на резонансното възмущение“, който е включен в учебния курс „Нелинейни трептения и вълни“, прочетен във Физическия факултет на УНН. В допълнение към необходимите теоретични изчисления, свързани с концепцията за нелинеен резонанс и резонансно припокриване, е представен практически материал, съдържащ по-специално сравнение с резултатите от числената симулация.

BBK V 22.213 + 22.311

Теория на резонансното възмущение

Както е известно, каноничната теория за смущения в случай на брой степени на свобода, по-големи от единица, не работи близо до резонанси, т.е. в райони, където

където ω I е векторът на необезпокоявани честоти на системата, които по правило са функции-

действия на вектора на действие I, а m е вектор с цели числа компоненти. Не работи-

способността на теорията се оказва свързана с факта, че поради малкостта на скалара

произведението m ω I, поредицата от последователни приближения на теорията започват да се разминават. Това означава, че адекватното описание на поведението на системата в близост до резонанс изисква отделно разглеждане и изграждане на теория на резонансното възмущение. Това ръководство е посветено на този брой.

I. Резонанс на свързване на две степени на свобода

Нека направим пример за конструиране на теория на резонансното възмущение за система с две степени на свобода, чийто хамилтониан в променливите на ъгъла на действие има следната форма:

H I 1, I 2, θ 1, θ 2 H 0 I 1, I 2 εV I 1, I 2, θ 1, θ 2 .

Тук H 0 (I 1, I 2) е хамилтониан на необезпокоявана система, а вторият член описва едно възмущение, чиято малота се определя от параметъра ε. Невъзбудените честоти на вибрациите се определят по известен начин:

Нека разгледаме по-отблизо резонанса

където n и m са положителни цели числа. Тъй като говорим за резонанс между трептенията в две различни степени на свобода в затворена система, такъв резонанс се нарича още вътрешен резонанс или свързващ резонанс. Обърнете внимание също, че последното равенство може да бъде записано като скаларно произведение на вектори

Тъй като разликата nω 1 - mω 2 при резонанс е нула, тогава е близо до резонанса

разликата nθ 1 - mθ 2 е бавна функция на времето в сравнение, например, с θ 1 (t) и θ 2 (t). Използваме това - извършваме каноничното преобразуване с помощта на генериращата функция

n 2 m 2 n 2 m 2

Лесно е да се види, че такова канонично преобразуване съответства на въртенето на координатната система в равнините на честотите (ω 1, ω 2) и действията (I 1, I 2) (вж. Фиг. 1). По този начин бързата фаза се превръща в нови ъглови променливи

и бавна фаза

Теория на резонансното възмущение

Фигура: 1. Илюстрация за каноничната трансформация (5)

Преди да преминете към новите променливи в хамилтонианците, обърнете внимание на следното. Функцията за смущения, най-общо казано, е периодична функция на променливите θ 1 и θ 2; следователно тя може да бъде разширена в двойна серия на Фурие:

V I 1, I 2, θ 1, θ 2

V n, m I 1, I 2 e i n θ 1 m θ 2 .

В този случай за простота предположихме, че средната стойност на смущението е нула. Ако случаят не е такъв, тогава са възможни две опции - или средната стойност е функция само на променливите на действието, или е константа. В първия случай терминът V 0,0 I 1, I 2 може да бъде включен в необезпокояваната част на Хамилтониан, че

---