Линия (геометрична

1) В елементарната геометрия се разглеждат прави линии L., отсечки от линии, прекъснати линии L., съставени от сегменти и някои криви L. Всеки тип криви L. се определя по един или друг специален начин (например окръжността се определя като местоположението на точки с дадено разстояние R от дадена точка O - центъра на окръжността). Понякога учебниците дават дефиниция на Л. като граници на парче повърхност (повърхността се определя като граница на тяло) или като траектория на движеща се точка. Но в рамките на елементарната геометрия тези определения не получават ясна формулировка.

2) Концепцията за L. като траектория на движеща се точка може да бъде доста строга, като се използва идеята за параметрично представяне на L. Например, чрез въвеждане на правоъгълни координати (x, y) на равнината, може параметрично дефинирайте кръг с радиус R, центриран в началото от уравненията

x = R cos t, y = R sin t.

Когато параметърът t минава през сегмента 0 £ t £ 2p, точката (x, y) описва кръг. Като цяло решетките на равнината се дават от параметрични уравнения на формата

x = j (t), y = (t),

където j (t), (t) са произволни функции, непрекъснати на някакъв краен или безкраен интервал D на числовата ос t. С всяка стойност на параметъра t (от интервала D), уравнения (*) са свързани с някаква точка М, чиито координати се определят от тези уравнения. L., дадено от параметрични уравнения (*) е набор от точки, съответстващи на всички възможни стойности на t от D, при условие че тези точки се разглеждат в определен ред, а именно: ако точка M 1 съответства на стойността на параметър t 1 и точка M 2 - до стойността t 2, тогава M 1 се счита за предхождаща M 2, ако t 1 0 може да бъде представена като сума от краен брой затворени набори с диаметър по-малък от e, които имат свойство, че нито един от тези затворени множества няма обща точка (виж също Измерение в геометрията). Континуум, легнал на равнина, ще бъде L. по смисъла на Uryson, ако и само ако не съдържа вътрешни точки. Това свойство преди това е било характеризирано (70-те години на 19-ти век) Л., легнало в самолета, Г. Кантор. Въпреки че дефиницията на Кантор е приложима само за линейни криви, лежащи на равнина, понякога общите линейности в смисъла на Урисън се наричат "криви на Кантор".

6) Дори математиците от древността са изучавали линии от втори ред (елипса, хипербола и парабола). Те също така разгледаха редица забележителни алгебрични алгебрични лингвистики от по-висок порядък, както и някои трансцендентални (неалгебрични) лингвистики. Систематичното изучаване на лингвистиката и тяхната класификация станаха възможни със създаването на аналитична геометрия (Р. Декарт) .

От Л. от третия ред най-известни са:

Декартов лист (вж. фиг. "Алгебрични криви от трети ред", №1 ). уравнение в правоъгълни координати: x 3 + y 3 - 3axy = 0. За първи път кривата е дефинирана в писмо от Р. Декарт до П. Ферма през 1638 г. Пълната форма на кривата с наличие на асимптота преминавайки през точките (- а, 0) и (0, - а), е дефиниран по-късно (1692) от Х. Хюйгенс и И. Бернули. Името „Декартов лист“ е установено в началото на 18 век.

Lokon Agnesi (виж фиг. "Алгебрични криви от трети ред", № 2). Нека има кръг с диаметър OC = - a и сегмент BDM, конструиран по такъв начин, че OB: BD = OC: BM; местоположението на точките M е къдряне на Agnesi (или verzieru). уравнение в правоъгълни координати: y = a 3/(a 2 + x 2). Изследването на този Л. е свързано с името на италианската жена математик Мария Агнези (1748).

Кубична парабола (виж фиг. "Алгебрични криви от трети ред", № 3). уравнение в правоъгълни координати: y = x 3 .

Полукубична парабола (виж фиг. "Алгебрични криви от трети ред", № 4), парабола на Нийл. уравнение в правоъгълни координати: y = -cx 3/2. Кръстен на английския математик У. Нийл (1657), който намери дължината на дъгата му.

Строфоид (от гръцки stróphos - усукана лента и éidos - изглед) (вж. фиг. "Алгебрични криви от трети ред", № 5 ). Нека има фиксирана линия AB и точка C извън нея на разстояние CO = a; права линия се върти около C, пресичайки AB в променлива точка N. Ако от точка N отложим сегменти NM = NM '= NO от двете страни на права AB, тогава местоположението на точките M и M' за всички позиции на въртящия се лъч CN е строфоид. Уравнение в правоъгълни координати:; в полярни координати: r = —a cos 2j/cosj. Строфоидът е изследван за първи път от Е. Торичели (1645), името е въведено в средата на 19 век.

Cissoid Diocles (cm. фиг. "Алгебрични криви от трети ред", № 6 ) (Гръцки kissoeides, от kissós - бръшлян и éidos - изглед), местоположението на точките M, за които OM = PQ (P е произволна точка на генериращия кръг с диаметър a). Уравнение в правоъгълни координати: y 2 = x 3/(a - x); в полярни координати: r = a sin 2 j/cos j. Древните гърци са разглеждали само онази част от цисоида, която е вътре в генериращия кръг. Заедно с дъгата на кръг, тази част образува фигура, наподобяваща лист от бръшлян (оттук и името); присъствието на безкрайни клони е установено през 17 век. от френския математик J.P. Roberval и независимо от белгийския математик R.F.Slues.

От L. от четвърти и по-висок орден най-известни са:

Кардиоидна (от гръцки kardía - сърце и éidos - изглед) (виж фиг. "Алгебрични криви от четвъртия и по-висок ред", № 1), крива, описана от която и да е точка M от кръг с радиус a, търкаляща се без плъзгане по фиксирана окръжност със същия радиус. уравнение в правоъгълни координати: (x 2 + y 2 - 2х) 2 = 4a (x 2 + y 2); в полярни координати: r = 2а (1 + cos j).