Кубично уравнение
Кубично уравнение - алгебрично уравнение от трета степен, чиято обща форма е, както следва:
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0, a ≠ 0. + bx ^ + cx + d = 0, \; a \ neq 0.>
За графичен анализ на кубично уравнение в декартова координатна система се използва кубична парабола.
Кубично уравнение от обща форма може да бъде сведено до канонична форма чрез разделяне на a и промяна на променливата x = y - b 3 a,>,> привеждане на уравнението във формата:
y 3 + p y + q = 0, + py + q = 0,>
q = 2 b 3 27 a 3 - bc 3 a 2 + da = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d 27 a 3, >>> - >> +> = - 9abc + 27a ^ d >>>, > p = ca - b 2 3 a 2 = 3 ac - b 2 3 a 2. > - >>> = >>>.>
Съдържание
Кубичните уравнения са били известни още в древен Вавилон, древните гърци, китайци, индийци и египтяни [1] [2] [3]. Открити са клинописни плочи от старовилонския период (20-16 век пр. Н. Е.), Съдържащи таблици за изчисляване на кубчета и корени на кубчета [4] [5]. Вавилонците може да са използвали тези таблици за решаване на кубични уравнения, но няма доказателства, че са го направили [6] .
Проблемът за удвояване на куб използва най-простото и най-старото от кубичните уравнения и древните египтяни не вярвали, че има решение за него [7]. През пети век пр. Н. Е. Хипократ свежда този проблем до намирането на две средни пропорционални между един и друг сегмент, два пъти по-големи от него, но не може да го реши с помощта на компас и линийка [8], което, както е известно сега, не може да се направи.
През 7-ми век, по време на династията Тан, астрономът и математик Уанг Сяотонг, в своя математически трактат, озаглавен Джигу Ксунджин, заяви и реши 25 кубични уравнения от вида x 3 + p x 2 + q x = N + px ^ + qx = N>, в 23 от които p, q ≠ 0, и в две уравнения q = 0 [11] .
През XI век персийският поет и математик Омар Хаям (1048-1131) постигна значителен напредък в теорията на кубичните уравнения. В ранната си работа върху кубични уравнения той открива, че кубичното уравнение може да има повече от едно решение и твърди, че уравнението не може да бъде решено с компас и прав ръб. Той също така намери геометрично решение [12] [13]. В по-късната си работа, Трактат за демонстрация на проблеми с алгебра, той описа пълна класификация на кубичните уравнения с техните общи геометрични решения, използвайки пресечните точки на конични сечения [14] [15] .
През дванадесети век индийският математик Баскара II се опита да реши кубични уравнения без особен успех. Той обаче даде един пример за решаване на кубично уравнение [16]:
През същия век пише друг персийски математик Шараф ад-Дин (1135-1213) Ал-Муадалат (Трактат за уравнения), което говори за осем типа кубични уравнения с положителни решения и пет типа без положителни решения. Той използва подход, който по-късно става известен като метод на Руфини-Хорнер, за да приближи числено корена на кубично уравнение. Той също така разработи концепцията за производната на функция и екстремуми на крива за решаване на кубични уравнения, които може да нямат положителни стойности [17]. Той разбра значението на дискриминанта на кубично уравнение за намиране на алгебрично решение на някои специални видове кубични уравнения [18] .