Енциклопедия по математика
топологично пространство, във всеки отворен капак, на който може да бъде вписан локално краен отворен капак. (Семейството g от множества, разположени в топологично пространство х, Наречен локално краен в X, ако всяка точка има квартал в X, пресичащ се само с краен набор от алементи на семейството g; семейство от вписани множества е семейство l от множества, ако всеки елемент от семейство g се съдържа в някакъв елемент от семейството X.) паракомпактно пространство на Хаусдорф. Класът на naracompact пространствата е много широк - той включва всички показатели. пространства (теорема на Стоун) и всички компактни пространства. Не всяко местно компактно пространство на Хаусдорф обаче е паракомитивно.
Значението на паракомпактността се определя от забелязаната обща концепция и редица забележителни свойства на паракомпактните пространства. На първо място, всеки Hausdorff P. и. глоба. Това позволява да се конструират върху паракомпактни пространства дялове от единство, подчинени на произволно дадено отворено покритие g. Това е името на семейства от реални неотрицателни непрекъснати функции в пространство, подчинено на следните условия: а) семейството опори на тези функции е локално ограничено и вписано в g; б) във всяка точка на пространството сумата от стойностите От всички онези функции на семейството, които се различават от нулата в него (а има такива многократно много) е равно на 1. Разделенията на единството са основните средства за конструиране на потапяния на пространства в стандартни пространства. По-специално, те се използват за вграждане на многообразия в евклидови пространства и за доказване на теорема за метрируемостта на всяко пространство на Tychonoff с s-локално крайна основа. В допълнение, на дяловете на единството в теорията на многообразията се основават методи, с помощта на които се извършва еднократен синтез на локални конструкции, произведени в рамките на отделни карти (по-специално определени векторни и тензорни полета). Следователно, едно от първоначалните изисквания в теорията на многообразията е изискването за паракомпактност, което не е излишно, тъй като съществуват непаракомпактно свързани хаусдорфови колектори.
При наличие на паракомпактност, някои локални свойства на пространството се синтезират и изпълняват в световен мащаб. По-специално, ако паракоммактът е локално метризуем, тогава той е метризуем; ако едно пространство на Хаусдорф е локално Cech пълно и паракомпактно, тогава е Cech пълно. IN теория на измеренията за паракомпакта е възможно да се получат редица важни отношения, които не се простират дори до нормалните пространства. Това не е изненадващо, тъй като една от основните дефиниции за измерение - според Лебег - е свързана с разглеждане на множеството отворени покрития, което несъмнено е свързано с идеята за локална крайност, на която се основава определението за паракомпактност.