Диференцируеми картографирания в нормирани пространства

С [math] X = Y = \ mathbb [/ math], получаваме дефиницията на диференциала и производната на функция от една променлива.

Нека установим теорема, обобщаваща класическото правило за диференциране на сложна функция:

Доказателството копира класическото доказателство, замествайки знака модул със знака норма.

По дефиницията на диференциала [math] \ Delta z = g (y_0 + \ Delta y) - g (y_0) = g '(y_0) \ Delta y + o (\ Delta y) [/ math] и [math] \ Delta y = f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0) = f '(x_0) \ Delta x + o (\ Delta x) [/ math]

[math] g [/ math] се дефинира в околността на точката [math] y_0 [/ math]. Тъй като [math] \ Delta y \ to 0 [/ math] за [math] \ Delta x \ to 0 [/ math] и [math] y_0 = f (x_0) [/ math], то за [math] \ Delta x \ до 0 [/ math], [math] f (x_0 + \ Delta x) [/ math] принадлежи към квартала на точката [math] y_0 [/ math] .

---