Афинирани независими точки на афинно пространство Теорема 25

Теорема 25.3. За всяко непразно подмножество SAn има равнина Pk, отговаряща на следните условия:

1) S Пk

2) равнината Pk принадлежи на всяка равнина, съдържаща S.

Доказателства. Ако Пk и Пl са две желани равнини, то Пк Пл и Пл Пк, следователно Пк = Пл. Така че, ако желаната равнина съществува, тогава тя е уникална. Нека сега покажем, че такава равнина съществува.

Вземете някаква точка M0 в множеството S и разгледайте множеството вектори M S. Обобщавайки концепцията за линейния корпус на крайна система от вектори, ние конструираме подпространство L (U) на линейното пространство Vп, състоящо се от всички възможни линейни комбинации от крайни системи от вектори на пространството U:

L (U) =

Нека покажем, че равнината A (S), преминаваща през точката М0 и имаща направляващото пространство L (U), е необходимата. Очевидно равнината A (S) съдържа всички точки от множеството S, т.е. СА (S). От друга страна, ако някаква равнина P съдържа всички точки от множеството S, тогава нейното направление включва всички вектори на пространството U, както и всяка тяхна линейна комбинация, т.е. P A (S). По силата на уникалността на желаната равнина, разглежданата конструкция не зависи от избора на началната точка М0 S.

---