Абстрактна пирамида (геометрия)

Пирамида (Старогръцки πυραμίς, род πυραμίδος) е многоъгълник, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници с общ връх [1]. Според броя на ъглите на основата, пирамидите се различават триъгълни, четириъгълни и др. Пирамидата е частен случай на конус.

1. Историята на развитието на геометрията на пирамидата

Началото на геометрията на пирамидата е поставено в Древен Египет и Вавилон, но активно се развива в Древна Гърция. Първият, който установи обема на пирамидата, беше Демокрит [2] и Евдокс от Книд го доказа. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите "Елементи", а също така извежда първото определение на пирамидата: твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.

2. Елементи на пирамидата

апотема - височината на страничната повърхност на правилната пирамида, изтеглена от върха й [3];
странични лица - триъгълници, сближаващи се в горната част на пирамидата;
странични ребра - общи страни на страничните повърхности;
върха на пирамидата - точка, която свързва страничните ръбове и не лежи в равнината на основата;
височина - отсечка от перпендикуляра, изтеглена през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
диагонален разрез на пирамидата - участък от пирамидата, минаващ през върха и диагонала на основата;
база - многоъгълник, който не принадлежи към върха на пирамидата.

3. Ъгли на пирамидата

4. Развитие на пирамидата

Почистване се нарича плоска фигура, получена чрез комбиниране на повърхността на геометрично тяло с една равнина (без припокриващи се лица или други повърхностни елементи един върху друг). Когато започнете да изучавате разгъването на повърхността, препоръчително е да разгледате последната като гъвкав, неразтеглив филм. Някои от представените по този начин повърхности могат да бъдат подравнени с равнината чрез огъване. Освен това, ако повърхностното отделение може да бъде подравнено с равнината без прекъсвания и залепване, тогава такава повърхност се нарича развиваща се повърхност и получената плоска фигура се нарича нейното развитие.

5. Свойства на пирамидата

Всички диагонали на пирамидата принадлежат на нейните лица.

Ако всички странични ръбове са равни, тогава:

кръг може да се опише близо до основата на пирамидата, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център;
страничните ребра образуват равни ъгли с равнината на основата.
обратното също е вярно, т.е. ако страничните ръбове образуват равни ъгли с равнината на основата или ако може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата се проектира в центъра й, тогава всички страничните ръбове на пирамидата са равни.

Ако страничните повърхности са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл, тогава:

в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в центъра й;
височините на страничните повърхности са равни;
страничната повърхност е равна на половината от произведението на периметъра на основата на височината на страничната повърхност.

6. Теореми, свързващи пирамидата с други геометрични тела

сфера може да бъде описана близо до пирамидата, когато вписан многоъгълник лежи в основата на пирамидата (необходимо и достатъчно условие). [4] Центърът на сферата ще бъде пресечната точка на равнините, преминаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярна на тях. От тази теорема следва, че сфера може да бъде описана както близо до всяка триъгълна, така и близо до всяка правилна пирамида;
сфера може да бъде вписана в пирамида, когато бисектрисните равнини на вътрешните двустранни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.