Въведение в m; полукласически методи в квантовия хаос
където T е периодът на класическо движение. Обобщаването на това правило за многомерни разделими системи, предложено от Зомерфелд, Уилсън, Шварцшилд и Епщайн [37, §3.1,] чрез налагане на условието (1) за всяка степен на свобода остава твърде ограничаващо и освен това въвежда привилегирована система от координати във фаза пространство. [31] [[56, за модерно подчертаване на тази работа,] виж] показа, че можем да преодолеем тази последна трудност и да обобщим предходните правила, като наложим условия за квантуване, носещи интегрални инварианти:
където D е броят на степени на свобода. Тези условия се отнасят не само за отделими системи, но всъщност веднага щом еволюцията във фазовото пространство остане ограничена и интегрируема. В този случай, по силата на теоремата на Лиувил [5, §49,], фазовото пространство е ламинирано в тори, обозначени с D константите на движението. За всяка стойност на C можем да изберем всяко семейство от D вериги, проследени върху всеки торус, свързан с C и хомотопно различни. Тогава количествено наблюдаваните стойности на C са такива, че всички условия (2) са изпълнени и следователно се избират само чрез дискретни стойности. Голямата заслуга на тази формулировка беше, че тя не само разшири класа на количествено измеримите системи, но и беше допълнително обяснена на геометричен език, тоест независим от избраната във фазовото пространство координатна система. И както отбелязва самият Айнщайн, такава формулировка губи смисъла си, за да определи количествено неинтегрируеми системи и по-специално ергодични системи, които освен това изиграха решаваща роля в основите на микроканоничната статистическа физика.
Допълнителен подход, дължащ се на [39], [44], [20] и [76], беше директно конструиране на приблизителни решения на уравнението на Шрьодингер, използвайки техники на eikonal, разработени извън квантовия контекст по-специално от Debye [37, §5.3,]. Основната идея на (J) WKB теорията е да се получи класическа механика като приближение на квантовата механика, когато дължината на вълната на Де Бройл е малка в сравнение с класическите скали по същия начин, по който намираме геометрична оптика от вълновата оптика, когато дължината на вълната на светлината е мъничка. Като напишете решение на уравнението на Шрьодингер във формата
кога. Сумата се отнася до всички класически траектории, свързващи q 'с q в момент t и представлява класическото действие, разглеждано като функция от неговите краища. е цяло число в зависимост само от броя и размера на каустиката на класическия хамилтонов поток, срещан от .
Така стигаме до сърцевината на съвременния проблем на полукласическите теории. Границата на количествата, конструирани от квантови състояния, е единична, когато и тази сингулярност води до термини, осцилиращи с честота, пропорционална на това, което се вижда в (3) и (4). След това ни кара да се чудим за възможността за обобщаване на изрази като този, получен от Ван Влек, който за фиксирани, но малки в сравнение с класическите действия позволява да се изчисли в отлично приближение квантово количество, започващо от и само класически съставки. Остава удивително, че бяха необходими четиридесет години, за да могат пионерската работа на Джефрис, Крамерс, Брилуен, Венцел и Ван Влек да бъде значително обогатена както чрез по-добро разбиране на квантовата и класическата динамика, така и чрез разширяване на техните области на изследване.
Работата на Маслов [48] даде на полукласическото приближение по-строги математически основи, по-специално чрез по-добър контрол на грешките, предизвикани от заместители на формата (3). По-точно, Маслов показа, че амплитудите на бързо осцилиращите членове могат да бъдат написани като асимптотично разширение в степени, чийто доминиращ член води до полукласическата интерпретация на WKB, припомнена по-горе. В допълнение, формулировката на Фейнман за квантовата механика [32], пряко вдъхновена от принципа на Хюйгенс-Френел [5, §46,] обсъждането на този принцип в контекста на класическата механика може да се намери в следното от забележка на Дирак, ни позволява да разберем по-добре от физическа гледна точка защо класическата динамика поне частично структурира квантовата динамика. Всъщност, често може да се напише квантова величина в резултат на интерференция между пътеките от пространството на фазите, принадлежащи към множество, но не ограничени за проверка на принципа на най-малкото действие. например,