Вълни, принудителен режим и чисти режими
Добро утро на всички
Като част от дадена работа решавам еднородното вълново уравнение $ \ частично_у-с ^ 2 \ частично_у $ на ограничен домейн $] 0,1 [$ със следните гранични условия:
-изходен термин $ u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $
-Хомогенен дирихлет отдясно $ u (1, t) = 0 $
Началните условия са зададени на $ u (x, 0) = \ частично_t u (x, 0) = $ 0. Идеята е да се види какво дава в тази област непрекъснатото появяване на възбуждането от източника.
Имам главно два въпроса за това.
- Смятате ли, че КИ са добре поставени? Факт е, че в момента $ t = 0 $ решението струва 0 и очевидно има производна на нула време.
- Виждам в различни резолюции (тип акорд на Melde с принудителен режим в $ \ cos $, а не $ \ sin $, но това не е проблемът), че решението е написано като постоянна вълна, фиксирана върху пулсацията на принудителния източник $ \ omega_s $:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (1-x)) \ cos (\ omega_s t) $ с $ k = \ omega_s/c $.
Съгласен съм с тази резолюция относно изчисленията и според мен това е съвсем естествено за установена диета. Но мисля, че това изисква струната винаги да е била подложена на това движение на стояща вълна, в противен случай настройката в движение, произтичаща от моя проблем, непрекъснато генерира фазово отместване по време на отражение. И аз вярвам, че „идеалната“ установена диета тогава е непостижима.
И проблемът ми тогава е следният. Когато го прилагам (Matlab), изобщо не мога да намеря това. Това, което намирам, е нестационарно решение и не е преходен проблем. Кодът се сближава и решението дори за дълго време не е постоянна вълна. Интересното е, че когато погледна FFT, получавам, както се очаква, пик в $ \ omega_s $, но също така и на собствените режими на системата $ \ omega_i = i \ pi c $. И FFT кодът също се сближава с достатъчно дълга извадка.
Или моят подход е невярен и предишното аналитично решение е уникално, или общото решение е написано, според това, което намирам, като сбор от предишната формула (намирам същото за компонента в $ \ omega_s $) и вълни неподвижни резултат от собствените режими (собствени стойности на Лапласиан в ограничена област), решения на уравнението за хомогенни условия на Дирихле в 0 и 1, под формата на тип $ B \ cos (\ omega_i t) \ sin (kx ) $. И остава да се намерят добрите $ B $, вероятно от CI, оттук и първият ми въпрос, тъй като моят предполага $ B = 0 $ (което не е това, което "желая" да намеря).
По мое мнение източникът непрекъснато генерира възбуждане на системата и формира във всеки момент IC на проблем, започващ в споменатия нов момент, и следователно също така предоставя феномена на свободния режим, който точно разкрива собствените режими.
Сякаш принудителното възбуждане „налага ритъма“, но също така възбужда и съседните чисти режими.
Въпросът е, че при решаването на edo или дори edp, математически решението се състои от сумата от решенията на даденото уравнение плюс това (ите) на свързаното хомогенно уравнение.
Сега, ако разгледаме дясната страна $ f $ към уравнението, така че $ f (0, t) = u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $ и $ f (x, t ) = $ 0 в противен случай и добре, имам впечатлението, освен ако не се лъжа, че предишното разсъждение работи и следователно общият ми подход работи и което върви в посока на числените резултати. След да, „полезната“ стойност от $ f $ се отнася само до вътрешността на домейна и там е нула, така че уравнението в крайна сметка е еднородно. но добре.
Какво е вашето мнение?
Редактирано 4 пъти. Последната корекция е направена миналата година и е направена от Pourquoi Pas.
Здравейте,
Можете да видите, че сумата на решение на уравнението с вашите условия и на решение на същия PDE, но този път с нулево условие на Dirichlet дава решение на PDE с вашите условия, внезапно, предполагам, че решението трябва по-скоро изглежда така:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (Lx)) \ sin (\ omega_s t + \ phi_n) + \ sum _ ^ *> \ дясно) \ ляво [A_n \ cos \ ляво (\ frac \ дясно) + B_n \ sin \ ляво (\ frac \ дясно) \ дясно]> $
С $ L $ дължината на машината и параметрите $ \ phi_n $, $ A_n $ и $ B_n $ се определят според първоначалните условия. Като се има предвид, че при t = 0 имаме $ u (x, t) = 0 $, можем да очакваме, че за всички $ n $, $ \ phi_n = 0 $ изчисленията на $ A_n $ и $ B_n $ не са супер очевидни (но мисля, че е осъществимо), бихме искали да направим нещо с поредицата на Фурие на производната на $ \ frac $ при $ t = 0 $, но тъй като имаме $ \ cos \ ляво (\ frac \ дясно ) $, а не $ \ cos \ left (\ frac \ right) $, трябва да намерите тънкост (няма идея, съжалявам).
Що се отнася до тълкуването, то често е субективно, това нещо.
Благодаря Ви за отговора. Съгласен съм с вашата обща формулировка, но имам впечатлението, че КИ водят до $ A_n $ и $ B_n $ до 0.
Във всеки случай, според вас, неразминаващият се преходен режим (който не експлодира по амплитуда) може да продължи безкрайно, като това, което предположих по-горе? Или неизменно завършва, в края на деня, като се придържа (или по-скоро се стреми към) принудителния режим?
Мисля, че хармоничните възбуждания без затихване винаги ще останат. И ако те не причинят разминаване на системата, както изглежда показват резултатите ми, тогава наистина съм много заинтересован да разбера как да изчисля амплитудите им в сравнение с тази в $ \ omega_s $.