Висящи квантори върху предикат
Нека бъде P (x) някакъв предикат. Окачване на квантора за универсалност Е операция, която съответства на предиката P (x) казвайки „За всички х се провежда P (x) ".
За обозначаване на тази операция се използва знакът ". В устните формулировки този знак замества думите" всички "," всеки "," всеки "," всеки. "Символичният запис на операцията е: .
Обърнете внимание, че изразът е невярно твърдение, в допълнение към единствения случай, когато P (x) е еднакво вярно предикат, следователно изявлението е вярно, ако и само ако предикатът (х) е идентично вярно.
Обесен да севантора на съществуването - това е операция, която свързва предиката P (x) с изявлението „има такова x, че се извършва P (x)“. Неговата символична нотация е .
Твърдението е вярно, ако и само ако в домейна на предиката M има поне един обект и такъв, че твърдението е вярно. Оттук следва, че е вярно твърдение за всички изпълними предикати .
Знакът за съществуване $ се използва вместо думите "поне един", "има", "съществува".
Въпреки факта, че в записите на формулите ("x) P (x) и ($ x) P (x) има буква x, обозначаваща променлива, и двете формули означават твърдения: те вече не зависят от променливата x. Обичайно е да се казва, че във формулите ("x) P (x) и ($ x) P (x) квантори" и $ обвързвам променлива x.
Окачването на квантора за универсалност е обобщение на операцията за свързване към произволен краен или безкраен набор от термини за свързване (фактори) .
Окачването на екзистенциален квантор върху предикат е обобщение на операцията по дизюнкция към произволен, краен или безкраен набор от дизюнкционни членове (термини).
Ако предикатът зависи от няколко променливи, тогава окачването на един квантор намалява броя на променливите с една. За да получите изявление от предикат, всички негови променливи трябва да бъдат обвързани с квантори. Например от сказуемото Въпрос:(х, у): х > у, дефинирани върху множеството двойки реални числа, чрез окачване на кванторите можете да получите 8 израза със съответните стойности на истината:
Този пример показва, че противоположните квантори, най-общо казано, не могат да бъдат заменени: когато кванторите са пренаредени, стойността на истинността на получения оператор се променя. Опитайте се да разберете в кой случай противоположните квантори могат да бъдат пренаредени.
И накрая, имайте предвид, че съществуват връзки между кванторите, които позволяват да се намали един от тези квантори до друг:
Задача. Напишете изявление с помощта на квантор и предикатни символи и изградете неговото отрицание: Във всеки град, на всяка улица има къща с балкон.
Решение. Нека бъде (х): х - град; Въпрос:(х, у): у - градска улица х; R( z ): z - къща с балкон, М(х,у,z): z - къща на улицата y в града х. Тогава формулата на изявлението има формата
.
Нека да изградим отрицанието на тази формула:
