Видове бифуркации

За да се изследват видовете бифуркация, препоръчително е да се разбере самата концепция за бифуркация.

В общия случай изследването на цялото фазово пространство за точки на бифуркация е трудна задача за n-мерното пространство, следователно се извършват локални изследвания и получените точки на бифуркация се наричат местни точки за раздвояване.

Местните точки на раздвояване могат да бъдат проследени чрез наблюдение на развитието на малки смущения в системата

видове
Бифуркации на състояния на равновесие и периодични движения на примера на топка

Най-простите и важни от тях са раздвоенията на състояния на равновесие и периодични движения.

Бифуркация на равновесно положение

Основните раздели на равновесните състояния включват:

  1. синтез и последващо изчезване на две състояния на равновесие. Пример е движението на топка в потенциален „кладенец“ с „рафт“ (фиг. 1). При изглаждане на BD "шелф", равновесното състояние "седло" S и център C2 се сливат и изчезват (фиг. 2).

динамична система

Фигура 1 - Схема на движение на топката в "кладенеца" с "рафт" (а) и неговия фазов портрет (б)

състояния равновесие

Фигура 2 - Схема на движение на топката след бифуркация (а) и нейният фазов портрет (б)

  • Раждане на лимитен цикъл от състояние на равновесие. Пример за такова раздвоение Бифуркация на Хопф.

Помислете за динамична система

(един)

Това е опростен израз на сложна динамична система, описана от функциите x (t) и y (t), които се изразяват чрез съответните полярни координати:

и се нарича система Hopf.

Система (1) зависи от два параметъра, единият от които λ ще бъде ключов за нас, а другият с = const.

Решения на задачата на Коши за някои дадени начални стойности r (t = 0) = r0, ‘phi; (t = 0) =’ phi; 0 за λ 0 (λ = 4) (вж. Фиг. 4)

0 "src =" https://libtime.ru/uploads/images/00/00/01/2014/06/18/grafik-dinamiki-2.png "alt =" Динамична графика (а) и фазов портрет (b ) за 'ламбда; > 0 "width =" 420 "height =" 213 "/>

Фигура 3 - Графика на динамика (а) и фазов портрет (б) при λ> 0

Размените с различни начални условия са показани в различни цветове. Както можете да видите, след кратък преходен процес системата преминава в режим на трептене и амплитудата и честотата на трептенията не зависят от началните условия (за всички начални условия системата ще достигне същото трептене).