Теорема за свойствата на детерминанта »Линейна алгебра

Сайт за раздела за висша математика - линейна алгебра

Определение. Две колони от детерминанта се наричат ​​пропорционални, ако една от тях може да бъде получена от другата чрез умножение по ненулев скалар:

,

Където .

Концепцията за пропорционалните низове се дефинира по подобен начин.

Определение. Позволете да са колоните на детерминанта (матрица). Линейна комбинация от колони е колона, равна на

,

където са произволни скалари.

Концепцията за пропорционалните низове и концепцията за линейна комбинация от низове се дефинират по подобен начин.

Теорема. (Определящи свойства.)

1. Детерминантът с нулева колона (нулев ред) е равен на нула.

2. Детерминантата променя знака за всяко транспониране на своите колони (редове).

3. Детерминантът с две равни колони (два равни реда) е равен на нула.

4. Детерминантът с две пропорционални колони (редове) е равен на нула.

5. Детерминантата не променя стойността си, ако към която и да е от колоните (редовете) се добави линейна комбинация от другите й колони (редове).

Доказателства. Поради равенството на редове и колони, всяко свойство е достатъчно, за да се докаже или за редове, или за колони.

1) Нека определителят има колона нула. Всеки член в детерминанта има точно един фактор от нула колона и следователно е нула. Следователно детерминантата също е нула.

2) Нека докажем това свойство за низове.

Нека в детерминанта

размениха i-тия и k-тия ред:

,

.

Виждаме това в първоначалната пермутация на редовете

(1,…, i-1, i, i + 1,…, k-1, k, k + 1,…, n)

възникна транспозиция (i k):

(1,…, i-1, k, i + 1,…, k-1, i, k + 1,…, n).

Първоначалната пермутация е четна, а след транспонирането (i k) пермутацията е нечетна.

---