Тема номер 8
Тема номер 8. Аналитични приложения на диференцируеми функции.
Изучаването на функция се основава на редица основни теореми на математическия анализ, с които ще започнем този урок.
Помислете за непрекъсната функция на сегмент, чиято графика е представена с гладка линия, т.е. има една тангента във всяка точка на тази линия. Нека тази функция приема същите стойности в краищата на този сегмент: (Фигура 8.1).
Следващата теорема твърди, че на интервала има поне една точка, чиято тангента е успоредна на оста .
Теорема на Рол. Ако функция е непрекъсната на сегмент, диференцируема във всичките си вътрешни точки и стойностите на функцията в краищата са равни, т.е., тогава вътре в сегмента има поне една точка, такава че .
Доказателството за теоремата на Роле може да бъде намерено в [1].
Трябва да се отбележи, че всяко условие на теоремата на Рол е необходимо. Например, ако, тогава за отсечка от права AB (фиг. 8.2) могат да бъдат изпълнени всички други условия на теоремата на Роле, но въпреки това на отсечката AB няма нито една точка, тангенсът, в който е успореден на оста, тъй като във всяка от вътрешните му точки .
Ако функцията в краищата на сегмента има равни стойности и вътре в сегмента има поне една точка, чиято производна не съществува, тогава твърдението на теоремата може да е невярно.
Всъщност функцията върху сегмента [–1; 1] има точка, в която няма производна. Както е лесно да се види (вж. Фиг. 8.3), няма нито една вътрешна точка на сегмента [–1; 1], където производната би била равна на нула.
Въз основа на следната теорема, базирана на теоремата на Роле, се доказват всички твърдения, свързани с изучаването на функция: намиране на интервалите на монотонно нарастване и намаляване, намиране на максимумите и минимумите на функция, интервали на изпъкналост и вдлъбнатина и т.н.
Теорема на Лагранж (теорема за крайни стъпки). Ако дадена функция е непрекъсната върху сегмент и диференцируема във всичките си вътрешни точки, тогава вътре в сегмента има поне една такава точка, че
За доказателство конструираме помощна функция, която да отговаря на условията на теоремата на Роле:
Изградената от нас функция удовлетворява всички условия на теоремата на Роле: тя е непрекъсната на интервал и диференцируема във всичките си вътрешни точки, тъй като такива са функциите, от които се състои. Остава да се провери равенството на стойностите на тази функция в краищата на сегмента:
Следователно, според теоремата на Рол, има поне една точка вътре в сегмента, такава че .
Замествайки стойността вместо това, намираме: .
Оттук най-накрая откриваме, че гл.
Теоремата на Лагранж има проста геометрична интерпретация: ако в правоъгълна декартова координатна система е дадена линия, гладка в интервал и непрекъсната в краищата на този интервал (което означава съществуването на едностранни граници,), тогава в интервала ще има със сигурност е точка, чиято допирателна е успоредна на хорда AB, свързваща крайния сегмент (Фигура 8.4).
Равенството (126) се нарича формула на Лагранж или формула за кратно нарастване.
Формулата на Лагранж има различни форми на нотация. например,
Освен това, тъй като, тогава, където, тогава формулата на Лагранж може да бъде пренаписана, както следва:
Ако в (130) приемем и приемем за, тогава формулата на Лагранж (127) ще бъде пренаписана, както следва:
Обобщение на теоремата на Лагранж е теоремата на O.L. Коши.
Теорема 18 (теорема на Коши). Ако функционира и е непрекъснат на сегмент и диференцируем във всички негови вътрешни точки и не е равен на нула във всяка вътрешна точка на сегмента, тогава вътре в сегмента има поне една точка, такава, че
Доказателството за теоремата на Коши може да бъде намерено в. От формулата на Коши (131) е лесно да се получи формулата на Лагранж, ако сложим. Всъщност от равенството (131) имаме:
Теоремата на Коши има проста геометрична интерпретация, като теоремата на Лагранж: на гладка линия, определена на отсечка, винаги има поне една такава точка, чиято тангента е успоредна на хордата, свързваща краищата на гладката линия. Разликата е, че в теоремата на Коши гладката линия се дава от параметричните уравнения
По условията на теоремата на Коши функциите отговарят на всички условия за съществуването на производната на функция, зададена параметрично.
Нека C е произволна вътрешна точка на функционалната графика (Фигура 8.5), която съответства на стойността на параметъра, където и .
Намерете наклона на допирателната в точка С:
Наклонът на права линия, минаваща през точки A и B, е
По теорема на Коши, равенството
Оттук най-накрая откриваме, че наклоните на хордата и допирателната са равни: .
Разкривайки несигурността на вида, срещнахме определени трудности при изчисляването на границите на кога. В някои случаи при преминаване от границата на съотношението на функциите към границата на съотношението на техните производни става много по-лесно да се намерят посочените граници.
Първата теорема на L'Hôpital показва кога е валиден такъв преход.
Първата теорема на L'Hôpital.
1.ако функционира и е непрекъснат на сегмента и;
2. функциите и са диференцируеми на интервал и не изчезват в нито една точка от този интервал;
3. има ограничение .
При формулираните условия има ограничение
Доказателство От теоремата на Коши имаме:
От равенствата (133) имаме:, p.t.d.
По този начин, при формулираните условия, когато се разкриват несигурности, е възможно да се премине от границата на съотношенията на функции към границата на съотношението на техните производни.