Спомагателен ъглов метод в тригонометрията

В уроците по алгебра учителите ни казват, че има малък (всъщност много голям) клас тригонометрични уравнения, които не могат да бъдат решени с помощта на стандартни методи - нито чрез факторизация, нито чрез променлива промяна, нито дори чрез хомогенни термини. В този случай влиза в действие принципно различен подход - методът на спомагателния ъгъл.

Какъв е този метод и как да го приложим? Като начало припомнете формулите за синуса на сумата/разликата и косинуса на сумата/разликата:

\ [\ begin & \ sin \ ляво (\ alpha \ pm \ beta \ right] = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ & \ cos \ ляво (\ alpha \ pm \ бета \ вдясно) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta \\\ край \]

Мисля, че тези формули са ви добре известни - от тях се извличат формули на двоен аргумент, без които в тригонометрията като цяло няма никъде. Но нека сега разгледаме просто уравнение:

Нека разделим двете части на 5:

Имайте предвид, че $ \ right)> ^> + \ right)> ^> = 1 $, което означава, че има задължително ъгъл $ \ alpha $, за който тези числа са съответно косинус и синус. Следователно нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\ [\ begin & \ cos \ alpha \ sin x + \ sin \ alpha \ cos x = 1 \\ & \ sin \ ляво (\ alpha + x \ дясно) = 1 \\\ край \]

Днес ще анализираме решението на тригонометрични уравнения, или по-скоро една-единствена техника, която се нарича "спомагателен ъглов метод". Защо точно този метод? Просто защото през последните два или три дни, когато учех със студенти, на които разказвах за решаването на тригонометрични уравнения, и анализирахме, наред с други неща, спомагателния ъглов метод и всички ученици като един допуснаха една и съща грешка. Но методът обикновено е прост и освен това е една от основните техники в тригонометрията. Следователно много тригонометрични задачи изобщо не се решават, освен чрез метода на спомагателния ъгъл.

Затова сега, за начало, ще разгледаме няколко прости задачи, а след това ще преминем към по-сериозни задачи. Въпреки това, всички тези, по един или друг начин, ще изискват от нас да използваме спомагателния ъглов метод, чиято същност ще ви кажа още в първата конструкция.

Решаване на прости тригонометрични задачи

\ [\ cos 2x = \ sqrt \ sin 2x-1 \]

Нека трансформираме малко израза си:

\ [\ cos 2x- \ sqrt \ sin 2x = -1 \ ляво | \ ляво (-1 \ дясно) \ дясно. \]

\ [\ sqrt \ cdot \ sin 2x- \ cos 2x = 1 \]

Как ще го решим? Стандартният трик е да разширите $ \ sin 2x $ и $ \ cos 2x $ с помощта на формули с двоен ъгъл и след това да пренапишете единицата като $ ^> x ^> x $, да получите хомогенно уравнение, да го намалите до допирателни и да решите. Това обаче е дълъг и досаден път, който изисква много изчисления.

Предлагам да помислим върху следното. Имаме $ \ sin $ и $ \ cos $. Припомнете си формулата за косинус и синус на сумата и разликата:

\ [\ sin \ ляво (\ alpha \ pm \ beta \ дясно) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta \]

\ [\ cos \ ляво (\ alpha + \ beta \ дясно) = \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta \]

\ [\ cos \ ляво (\ alpha - \ beta \ дясно) = \ cos a \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \]

Да се върнем към нашия пример. Нека да намалим всичко до синуса на разликата. Но първо уравнението трябва да бъде леко трансформирано. Нека намерим коефициента:

$ \ sqrt $ е един и същ коефициент, с който двете страни на уравнението трябва да бъдат разделени, така че числата да се появяват пред синуса и косинуса, които сами по себе си са синуси и косинуси. Нека се разделим:

Нека да разгледаме какво имаме вляво: има ли такива $ \ sin $ и $ \ cos $ такива, че $ \ cos \ alpha = \ frac> $ и $ \ sin \ alpha = \ frac $? Очевидно има: $ \ alpha = \ frac \! \! \ Pi \! \! \ Text< >> $. Следователно можем да пренапишем израза си по следния начин:

Сега имаме формулата за синуса на разликата. Можем да напишем така:

Пред нас е най-простата класическа тригонометрична конструкция. Позволете ми да ви напомня:

Нека запишем това за нашия конкретен израз:

Нюанси на решението

И така, какво да направите, ако попаднете на подобен пример:

Преобразувайте структурата, ако е необходимо.
Намерете корекционния коефициент, вземете корена от него и разделете двете части на примера от него.
Вижте какви стойности на синус и косинус се получават от числата.
Разширяваме уравнението според формулите на синуса или косинуса на разликата или сумата.
Решаване на най-простото тригонометрично уравнение.

В това отношение внимателните ученици вероятно ще имат два въпроса.

Какво ни пречи да напишем $ \ sin $ и $ \ cos $ на етапа на намиране на корекционния фактор? - Ние сме възпрепятствани от основната тригонометрична идентичност. Факт е, че получените $ \ sin $ и $ \ cos $, както всеки друг със същия аргумент, трябва да дадат точно "едно", когато е на квадрат. В процеса на решаване трябва да бъдете много внимателни и да не губите „двойка“ преди „xes“.