Симулация на мощност - Числени методи за решаване на нелинейни уравнения
Числени методи за решаване на нелинейни уравнения. Метод на Нютон за решаване на уравнения в една променлива
Методът на Нютон (известен също като метод на допирателните) е итеративен числен метод за намиране на корена (нула) на дадена функция. Методът е предложен за първи път от английския физик, математик и астроном Исак Нютон (1643-1727), под чието име той спечели славата си.
В съответствие с този метод проблемът за намиране на корена на функция се свежда до проблема за намиране на точката на пресичане с оста на абсцисата на допирателната, построена към графиката на функцията .
Фиг. 1. Графика за промяна на функциите
Допирателна линия, начертана във всяка точка към графиката на функция, се определя от производната на тази функция в разглежданата точка, която от своя страна се определя от допирателната на ъгъла α (). Точката на пресичане на допирателната с оста на абсцисата се определя въз основа на следното съотношение в правоъгълен триъгълник: тангенсът на ъгъла в правоъгълен триъгълник се определя от съотношението на противоположния крак към съседния триъгълник на крака . По този начин на всяка стъпка се допирателна към графиката на функцията се изгражда в точката на следващото приближение. Точката на пресичане на допирателната с оста Ox ще бъде следващата точка на подход. В съответствие с разглеждания метод, изчисляването на приблизителната стойност на корена на i -итерацията се извършва по формулата:
Наклонът на правата линия се регулира на всяка стъпка по най-добрия възможен начин, но трябва да обърнете внимание на факта, че алгоритъмът не отчита кривината на графиката и следователно по време на процеса на изчисление остава неизвестно в коя посока графиката може да се отклонява.
Условието за края на итеративния процес е изпълнението на следното условие:
където е допустимата грешка при определяне на корена.
Методът има квадратична конвергенция. Квадратичната скорост на конвергенция означава, че броят на правилните знаци в приблизителната стойност се удвоява с всяка итерация.
Математическа обосновка
Нека се даде реална функция, която е дефинирана и непрекъсната в разглеждания раздел. Необходимо е да се намери реалният корен на разглежданата функция.
Деривацията на уравнението се основава на метода на прости итерации, според който уравнението води до еквивалентно уравнение за всяка функция. Въвеждаме концепцията за картографиране на свиване, което се дефинира от връзката .
За най-добра конвергенция на метода в точката на следващото приближение условието трябва да бъде изпълнено. Това изискване означава, че коренът на функцията трябва да съответства на екстремума на функцията .
Производната на картографирането на свиването се дефинира, както следва:
Нека изразим променлива от този израз, подчинена на предварително приетото твърдение, че условието трябва да бъде осигурено. В резултат на това получаваме израз за дефиниране на променлива:
Имайки предвид това, функцията на свиване е следната: