Симетрични оператори

Определение. Линейният оператор \ (A \), действащ в евклидовото векторно пространство \ (\ mathfrak \), се нарича симетрични, ако за някакви вектори \ (x, y \ in \ mathfrak \) отношението \ ((Ax, y) = (x, Ay) \).

Както бе споменато по-горе, при обсъждане на матричната форма на линеен оператор, ако основата във векторното пространство е фиксирана, разглеждането на линейния оператор може да бъде заменено с разглеждането на матрицата - нейната матрична форма. Нека тази основа \ (\\) е ортонормална, \ (\ alpha _ \) е матричната форма на оператора \ (A \). Тогава \ [(Ae_s, e_p) = (\ sum _ ^ k \ alpha _e_r, e_p) = \ sum _ ^ k \ alpha _ (e_r, e_p) = \ alpha _, \] \ [(e_s, Ae_p) = (e_s, \ sum _ ^ k \ alpha _e_r) = \ sum _ ^ k \ alpha _ (e_s, e_r) = \ alpha _. \] По този начин е представена матричната форма на симетричен оператор симетрични от матрица - матрица \ (\ alpha \), отговаряща на условието \ (\ alpha = \ alpha ^ T \). Може да се провери и обратното - ако матричната форма е симетрична матрица, тогава съответният линеен оператор е симетричен. Симетричните оператори играят важна роля в естествените науки (особено във физиката), така че този клас оператори заслужават отделна дискусия.

---