Разпределение на гама, математика, FANDOM, задвижвано от Wikia

Съдържание

Определение Редактиране

$ \ Gamma (k) = \ int ^ \ infty_0x ^ e ^ dx $
и има следните свойства:

константи $ k, \ theta> 0 $. Тогава се казва, че случайната променлива $ X $ има гама разпределение с параметри $ k $ и $ \ theta $. Те пишат $ X \ thicksim \ Gamma (k, \ theta) $ .

Коментирайте. Понякога се използва различна параметризация на семейството гама разпределения. Или въвеждат трети параметър - shift.

Редактиране на моменти

Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива $ X $ с гама разпределение имат формата

$ \ mathbb [X] = k \ theta $, $ \ mathrm [X] = k \ theta ^ 2 $ .

Свойства на гама разпределението

  • Ако $ X_1, \ ldots, X_n $ са независими случайни променливи, като $ X_i \ sim \ Gamma (k_i, \ theta), \; i = 1, \ ldots, n $, тогава
$ Y = \ сума \ граници_ ^ n X_i \ sim \ Гама \ ляво (\ sum_ ^ n k_i, \ theta \ дясно) $ .
  • Ако $ X \ thicksim \ Gamma (k, \ theta) $ и $ a> 0 $ е произволна константа, тогава
$ aX \ thicksim \ Gamma (k, a \ theta) $ .
  • Гама разпределението е безкрайно делимо.

Връзка с други дистрибуции

  • Експоненциалното разпределение е специален случай на гама разпределението:
$ \ Gamma (1, \ theta) \ equiv \ mathrm (\ theta) $ .
  • Ако $ X_1, \ ldots, X_k $ са независими експоненциални случайни променливи, такива че $ X_i \ sim \ mathrm (\ theta), \; i = 1, \ ldots, k $, тогава
$ Y = \ sum \ limit_ ^ k X_i \ sim \ Gamma (k, \ theta) $ .
  • Хи-квадрат разпределението е специален случай на гама-разпределението:
$ \ Gamma \ ляво (\ frac, 2 \ дясно) \ equiv \ chi ^ 2 (n) $ .
  • Според теоремата за централната граница, за големи $ k $ гама разпределението може да бъде апроксимирано с нормалното разпределение:
$ \ Gamma (k, \ theta) \ приблизително \ mathrm (k \ theta, k \ theta ^ 2) $ за $ k \ до \ infty $ .
  • Ако $ X_1, X_2 $ са независими случайни променливи, като $ X_i \ sim \ Gamma (k_i, 1), \; i = 1,2 $, тогава
$ \ frac \ sim \ mathrm (k_1, k_2) $ .

Моделиране на гама стойности

Дадено свойството на мащабиране по параметър θ, по-горе е достатъчно да се симулира гама стойността за θ = 1. Преходът към други стойности на параметъра се извършва чрез просто умножение.

Използвайки факта, че разпределението $ \ Gamma (1, 1) $ съвпада с експоненциалното разпределение, откриваме, че ако U Е случайна променлива, разпределена равномерно на интервала (0, 1], след това $ \ ln U \ sim \ Gamma (1, 1) $ .

Сега се използва собствеността к-обобщавайки, обобщаваме този резултат:

Където Ui - независими случайни променливи, равномерно разпределени през интервала (0, 1].

Остава да се симулира гама стойността за 0 \ xi_m ^ e ^ $, след което да се увеличи м с един и се върнете към стъпка 2.

  • Вземете $ \ xi = \ xi_m $ като изпълнение $ \ Gamma (\ delta, 1) $ .

    • $ \ theta \ ляво (\ xi - \ sum _ ^ \ дясно) \ sim \ Gamma (k, \ theta), $

    където [к] е цялата част к, и ξ генерирани от алгоритъма, даден по-горе с δ = k> (частична част к); Ui и Vl разпределени както по-горе и двойно независими.