Проблемът със стадо овце, уебсайт за учители по математика

Двама братя имаха стадо овце. Продали го и за всеки овен получили толкова рубли, колкото глави имало в стадото. Приходите бяха разделени наполовина. По-големият брат - десет, по-малкият брат - десет, най-големият - десет, най-малкият - десет. И така няколко пъти. Тогава по-големият брат взе своите десет, а на най-малкия няколко рубли не стигнаха до десет. Тогава старейшината извади нож от джоба си и го даде на брат си като компенсация за липсващата сума. Колко струваше ножа?

Решение 1. Приходите са естествено число (това е квадратът на броя на овните). Броят на цели десетки е странен, тъй като те са завършили на по-големия брат.

Тогава получената сума n 2 може да бъде записана по следния начин: n 2 = 10 (2k + 1) + p =
= 20k + 10 + p, където 2k + 1 е броят на цели десетки, а p е последната сума, получена от по-малкия брат. Откъдето може да се види, че числото n 2, разделено на 20, има остатък от 10 + p.

Когато се разделят на 20, квадратите на естествените числа 1, 2, ..., 9, 10 дават остатъци: 1, 4, 9, 16, 5, 16, 9, 4, 1 и 0. Всяко многозначно естествено число може да се запише като 10a + b, където b е броят на единиците (едноцифрено естествено число), а квадратът му е под формата 100a 2 + 20ab + b 2. Тъй като първите два члена се делят на 20 без остатък, остатъкът от делението на 20 от числото n 2 е равен на остатъка от делението на 20 от последната му цифра, т.е. едно от числата: 1, 4, 9, 16, 5 и 0.

---