Принудително амортизирано махало
Знаем, че уравнението на простото махало, състоящо се от маса в края на тел, висяща във фиксирана точка и без триене, има формата
където l е дължината на махалото, а g е ускорението на гравитацията. Това е движение с 2 степени на свобода (имате нужда от 2 начални условия, за да решите уравнението). Движението на обикновено махало винаги е редовно. Ако има триене, движението се намалява и масата се връща в равновесно положение, което е фиксирана точка на атрактора. От друга страна, можем да имаме дисипативна система, която може да даде хаотични режими, ако добавим триене и поддръжка; уравнението след това ще бъде
където 2 е коефициентът на затихване и е правилната пулсация на системата. Ще настроим така, че пълният оборот да съответства на x = 1 и така че поддръжката да има единичен период; тогава имаме и
Странен атракционен сюжет
x е (до коефициент) ъгълът на махалото с вертикалата, можем да идентифицираме x с x + 1, което представлява същата точка. Всъщност ще вземем дробната част на x, ако x> 0 и дробната част на x, увеличена с 1, ако x карта от период-1, което е стробоскопия на период, равен на този на поддръжката, т.е. ще разгледа точките на фазовото пространство, достигнато, когато времето е кратно на периода, например за t = 0, 1, 2, 3.
Взимаме уравнението във формата, която наистина е предишната форма (задаваме и).
Избираме c = 0,2 и
> a: = op (1, op (1, p)): (извличаме списъка с точки)
> list1: = op ([]): за i до (nops (a) -1)/10 do
op (2, op (10 * i, a))] fi od: (вземаме дробната част, ако x> 0, в противен случай 1 + дробната част)
Тънкослойната фрактална структура на атрактора се вижда още по-добре, тъй като броят на точките е по-голям, което удължава още повече времето за изчисление. Тази структура е характерна за явлението разтягане-сгъване, операция по смесване, водеща до хаос.
Поведение според амплитудата на форсирането
Нека се върнем към ниска амплитуда на форсиране; след преходен режим махалото редува редовно от двете страни на равновесното си положение, което води до елипса във фазовата равнина (x, u). Ако усилването се увеличи, амплитудата на трептенията също се увеличава и, ако това надвишава половин оборот, махалото ще може да извърши пълни обороти: махалото спира.
След това наблюдаваме хаотичен преходен режим, от който махалото излиза, за да се фиксира в един от трите възможни режима, които са или режим на регулярни трептения, или режим, при който махалото се върти редовно в същата посока с честотата на принуждаване, по един или друг начин. Изборът на крайния режим зависи от първоначалните условия; има три басейна на привличане:
стъпка = 0,1, линия на цвета = червено, сцена = [t, x]); (3 начални условия)
Има 3 възможни режима за едни и същи стойности на параметрите според първоначалното състояние и следователно три атрактора. Има мултистабилност.
Поведението всъщност е сложно и много чувствително към стойностите на параметрите. За съсед на 2.17 системата не успява да се фиксира в един от трите предишни режима и атракторът става хаотичен според сценарий, който припомня прекъсване:
С опцията сцена = [t, x] получаваме:
Системата се завърта за известно време в една посока, след което изведнъж променя посоката.
Нека да проследим атрактора на картата период-1 по същата програма като тази, използвана за странния аттрактор, като времето между 100 и 800:
Трябва да сравним тази фигура с фигура 9.1, на която е скицата. Виждаме чертежа на странния атрактор с неговата вътрешна структура.
Ако увеличим форсирането, хаотичните фази се затягат и режимът става откровено хаотичен.
За по-високи стойности на форсирането се откриват регулярни режими, след това отново хаотични за още по-високи стойности.
Безплатен осцилатор
Това е осцилаторът с две ямки, наричан още осцилатор Duffing.
Уравнението на неекранирания свободен анхармоничен осцилатор има формата
Като се умножава по и интегрира, това идва
което се интерпретира като запазване на механичната енергийна сума на кинетичната енергия (масата се приема равна на 1) и потенциалната енергия, представена както следва:
Наистина това е осцилатор с две ямки: имаме две фиксирани точки, за които са центрове за незаглушения осцилатор и кладенци, ако последният е амортизиран, и седлова точка за x = 0.
Нека нарисуваме фазовия портрет, като вземем няколко първоначални условия:
Помислете сега за затихнал осцилатор с уравнение
Нека нарисуваме фазовия портрет:
Поради триенето механичната енергия намалява, точката се завърта по посока на часовниковата стрелка, когато се приближава; в даден момент тя влиза в една от двете ямки и се завърта около нея до крайното си положение на дъното на кладенеца. Тъй като системата зависи от два параметъра (две степени на свобода), няма възможен хаос.
Принудителен осцилатор
Това вече не е така, ако въведем синуидално форсиране, какъвто е случаят с уравнението
Нека нарисуваме новия фазов портрет с:
Виждаме, че траекторията е хаотична. Осцилаторът се завърта понякога около фиксирана точка, понякога около другата или около двете, без да успява да фиксира.
Можем да нарисуваме атрактора на картата период-1 на осцилатора. За това е необходимо да се принуди период 1 на формуляра; това се равнява на разделяне на 4 и на 2; вземаме:
Атракторът се удебелява, ако триенето е намалено.
Също така можем да изчертаем наведнъж 4 карти на време-1 по различно време, като начертаваме с pointplot3d една точка от 5, съответстваща на 4 точки за период, тъй като стъпката на интегриране е 0,05 и периодът е 1 Точките на същата карта са всички поставят една и съща абсциса, като вземат дробната част от времето: