Приложение на делта функцията на Дирак и стъпковата функция за описание на разпределението на обема

Обемният заряд и плътността на тока за случаи като разпределението на зарядите върху повърхност, линии и други ограничени области се записват под формата на скаларни и векторни функции, дефинирани в цялото триизмерно пространство. Свойствата на делта функцията и стъпковата функция и тяхното приложение са дадени в проблемната книга [1]. Желателно е да се решат задачи 80,81,88 и да се разработят приложения за свойствата на тези обобщени функции в [1].

Нека анализираме подробно решенията на два проблема от [1].

149 g): В равнина ху по безкрайно тънък пръстен с радиус R линейни текущи потоци J, оформяне на дясна винтова система с ос z, който минава през центъра на пръстена. Използвайки делта функцията на Дирак, определете разпределението на общата плътност на тока .

Решение: Някаква стойност на азимуталния ъгъл определя равнината. Според дефиницията на понятието сила на тока имаме условието за нормализиране на търсената обемна плътност на тока:

(9.1)

Плътността на тока е ненулева за следните стойности на цилиндричните координати:

(9.2)

Следователно, векторът на обемната плътност на тока трябва да се търси под формата:

(9.3)

И - нормализиращ фактор.

Поради факта че

(9.4)

(9,5)

149 д): Намерете дали равномерно заредената повърхност на кръгъл конус с връх в началото се върти около диаметъра си с ъглова скорост, насочена по оста z.

Решение: Известно е, че

(9,6)

(9,7)

Следователно първо намираме разпределението на обемната плътност на заряда. Очевидно в сферична координатна система

(9,8)

(9,9)

Нормализиращ фактор И намери от условието:

(9.10)

Изчислявайки интегралния обем в тази формула в цялото триизмерно пространство, получаваме това

(9.11)

Нека намерим резултата от векторното произведение (9.7) в сферичната координатна система.

(*)

(**)

Лесно е да се види това

(9.12)

(9.13)

Поради взаимната ортогоналност на базисните единични вектори на сферичната координатна система, за тях важи следната таблица на векторните продукти:

(9,14)

(9.15)

(9,16)

Законът на Био-Савард

Разпределенията на обемни плътности на тока, като получените по-горе формули, позволяват да се намали до квадратури проблемът за определяне на компонентите на вектора на силата на магнитното поле въз основа на закона на Био-Саварт:

---