Приглушени хармонични трептения - физика

В предишните раздели разгледахме незаглушените хармонични трептения. При незатихнало трептене не възникват сили на триене (напр. Въздушно съпротивление). Следователно трептенето може да продължи, без да се забавя поради триенето.

Приглушени вибрации

Незаглушените вибрации са възможни само ако няма сили на триене. Реалните вибрации, от друга страна, се забавят от възникващото триене и в даден момент спират (освен ако енергията не се доставя редовно). Такива вибрации се наричат затихващи вибрации определен.

Забележете

Енергията се освобождава в околната среда чрез триене. Оставянето на такава система на собствените си устройства в крайна сметка ще доведе до застой.

При пружинно махало по-голямата част от енергията на вибрациите се преобразува в топлинна енергия, когато пружината се деформира. Но въздушното съпротивление (в зависимост от размера на тежестта, окачена на махалото) също може да играе роля тук.

Уравнение на движението

Затихналото трептене поради триене може да се опише с така наречената константа на затихване $ \ delta $. Това показва колко силно е затихнало трептенето.

В случай на затихнало трептене амплитудата $ A $ вече не е постоянна във времето, а се променя поради триене. Ако има сила на триене, която зависи от скоростта $ v $ (напр. Въздушно съпротивление), амплитудата $ A (t) $ намалява експоненциално от първоначалната стойност:

метод

$ A (t) = A \ cdot e ^ $ Амплитудна функция

На графиката по-горе може да се види хармонично затихнало трептене. Трептенето започва с амплитуда $ A $. Амплитудата $ A $ намалява експоненциално с амплитудната функция $ A (t) = A \ cdot e ^ $ поради триенето.

Уравненията на движението (виж раздел Хармонични трептения: Уравнение на движението) трябва да бъдат адаптирани според промяната в амплитудата $ A $, за да:

метод

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t) $ Отклонение (закон на времето и мястото)

Начало на движението не в покой:

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ varphi_0) $

Начало на движението в точката на обръщане (фазово отместване с $ \ varphi_0 = \ frac $):

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ cos (\ omega_d \ cdot t) $

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ frac) $

Когато се извлича функцията $ s (t) $, амплитудната функция, разбира се, също трябва да бъде изведена. Еднократната производна на деформацията води до скорост $ v (t) $, а двукратната производна - ускорението $ a (t) $.

Следното се отнася за амортизираната естествена честота $ \ omega_d $ на отделните махала:

метод

Това означава за трите махала:

метод

Пролетно махало: $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Махало с резба (математическо махало): $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Физическо махало: $ \ omega_d = \ sqrt< \frac - \delta^2> $

Съответно, продължителността на трептене $ T $ и честотата на трептене $ f $ също трябва да бъдат коригирани:

метод

Основен ефект: Съотношението $ q $ на две съседни амплитуди се дава от:

метод

The логаритмичен декремент $ \ Lambda $ води до:

метод

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $ Логаритмичен декремент

Следващата графика показва уравнението на функциите на движение и амплитуда за различните начални точки на движението:

Обща енергия

При затихващи трептения общата енергия намалява с времето. Така че трябва да е продуктът

метод

се вземат предвид в общата енергия.

Следното се отнася за резбовото махало:

Пример за приложение: затихнало трептене

пример

Затихналото трептене започва с максимална амплитуда и след 15 s има само 2% от първоначалната си амплитуда. Колко голям е коефициентът на разпадане на трептенето?

Тук можем да използваме амплитудната функция:

След $ t = 15s $ се дават само 2% от първоначалната амплитуда $ A $:

След това можем да решим това уравнение за $ \ delta $:

$ ln (0,02) = - \ delta \ cdot 15s $

Коефициентът на разпадане е 0,261s ^ $.

Пример за приложение: логаритмичен декремент

пример

Трябва да се определи логаритмичният декремент $ \ Lambda $ на математическо махало (= махало с резба). Максималната амплитуда е намаляла до $ \ frac $ след 1,5 минути. Дължината на махалото е $ l = 1,8m $. Също така изчислете разликата $ \ триъгълник \ omega $ между естествените честоти на амортизираното и незаглушеното махало.

Логаритмичният декремент $ \ Lambda $ се определя, както следва:

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $

Амплитудата $ A (t = 1.5min) $ е $ \ frac $ началната амплитуда:

Вече можем първо да определим коефициента на разпад $ \ delta $ от амплитудната функция:

$ ln (\ frac) = - \ delta \ cdot 90s $

След това трябва да определим периода на трептене $ T_d $:

Това е нишковидно махало с естествена честота $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $:

Вмъкване на стойностите:

Логаритмичният декремент води до следното:

$ \ Lambda = 0,02 s ^ \ cdot 2,692 s = 0,054 $

Следващата стъпка е да се определят разликите между естествените честоти на незаглушено и затихнало трептене:

$ \ триъгълник \ omega = \ omega - \ omega_d $

$ \ триъгълник \ omega = 0,0000857 = 8,57 \ cdot 10 ^ $

Пример за приложение: амплитуда

пример

Втората амплитуда на затихнало трептене е с 1,5 mm по-малка от 25 mm първа амплитуда. Колко е голяма 8-та амплитуда?

Съотношението на две съседни амплитуди може да се определи чрез:

В упражнението дадохме първата амплитуда с $ A_1 = 25mm $ и втората амплитуда с $ A_2 = 25mm - 1.5mm = 23.5mm $. След това можем да намерим съотношението $ q $:

Сега искаме да определим размера на 8-ма амплитуда. За целта можем да адаптираме формулата така, че:

Друго интересно съдържание по темата

Представяне на функциите в предавателния блок

Може би темата на представянето на функциите в предавателния блок (варианти на представяне на управляващи структури) от нашия онлайн курс също е за вас Контролна техника Интересно.

Принудителни вибрации

Може би темата Принудителни вибрации (вибрации) от нашия онлайн курс също е за вас физика Интересно.

Вибрации

Може би темата за вибрациите от нашия онлайн курс също е за вас физика Интересно.

---