Повсеместността на триъгълника на Серпински - спектър на науката

Вездесъщият на триъгълника на Серпински

Странни числа, странни форми: това отчасти прави математиката толкова привлекателна. Още по-странни - и по-привлекателни - са изненадващите корелации, характерни за математиката. Отново и отново неща, които изглежда нямат нищо общо помежду си, се оказват тясно свързани. Един от любимите ми примери за това е триъгълникът на Серпински (снимка по-долу). Това е - в терминологията на Беноа Манделброт - фрактал: цялата фигура може да бъде разделена на части, които са по-малки копия на цялото. Но триъгълникът на Sierpinski също е свързан с двоеточия на криви, триъгълника на Паскал, кулите на Ханой и странното число 466/885, което е приблизително равно на 0,52655.

Полският математик Вацлав Серпински (1882–1969) описва своя триъгълник през 1915 година. Лесно е да се нарисува: разделете равностранен триъгълник на четири триъгълника, като свържете средата на страните, след което премахнете средния триъгълник. Повторете процеса за всеки от останалите триъгълници. Ако направите това безкраен брой пъти, крайният резултат ще бъде крива, която се среща във всяка от точките си. Това геометрично свойство противоречи на идеята, че такива криви първоначално са били считани за „чудовища" и патологични (Spektrum der Wissenschaft 3/1992, стр. 72). Ако го вземете много внимателно, кривата на Sierpinski се среща във всяка от своите точки, с изключение на трите ъглови точки на стартовия триъгълник. Но дори тази малка липса на чудовищност беше отстранена от Sierpinski, като се присъедини към шест копия на своя триъгълник, за да образува правилен шестоъгълник. Наскоро изненадващо се появи практическо приложение на тази безкрайно назъбена форма: антени (виж карето по-долу).

Много по-рано, през 1890 г., френският математик Едуар Лукас (1842–1891) открива математическа теорема, която установява връзка между кривата на Sierpinski и известния триъгълник на Паскал, в който всяко число е сумата от двете числа над него. Тези числа се наричат още биномни коефициенти. K-тият запис в n-тия ред (където номерираме редове и колони, започващи с 0) е броят на различните възможности за избор на k от n различни неща. Лукас попита: Кои числа в триъгълника на Паскал са четни и кои нечетни? Удивителният отговор е видим на пръв поглед: Разположението на нечетните биномни коефициенти изглежда точно като дискретна версия на кривата на Sierpinski (снимка по-долу; вижте също Spektrum der Wissenschaft 8/1993, стр. 10).

Интересен извод е, че почти всички биномни коефициенти са четни. Тоест, когато размерът на триъгълника на Паскал се увеличава, съотношението на нечетните към четните коефициенти се приближава до 0. Дейвид Сингмастър от Университета на Саут Банк в Лондон обобщава това твърдение и доказва, че за всяко естествено число m почти всички биномни коефициенти се делят на m.

Триъгълникът на Серпински - който тогава не е бил наречен така - се появява отново в работата на Едуар Лукас. През 1883 г. той пуска на пазара известния пъзел на кулите на Ханой под псевдонима "Н. Клаус" (за грешното име той разклаща буквите на правилното). Играта, която отдавна е оценена от математиците любители, се състои от осем (или по-малко) диска с различни размери на три пръчки. Калъфът с три диска е показан на снимката вдясно. Дисковете първоначално са подредени според размера на една от лентите. Целият стек сега трябва да бъде преместен парче по парче върху друг прът, при което по-малък парче никога не трябва да попада под по-голям парче.

Добре известно е, че разтворът има рекурсивна структура. Тоест, решението за пъзела на Ханой с n + 1 филийки може лесно да бъде получено от решението с n филийки. Да предположим, че знаете как да решите пъзела с три диска и трябва да намерите решението с четири диска. Първо игнорирайте долния диск и преместете горните три диска върху празен стик, следвайки - добре познатата - рецепта за решаване на пъзела с три диска. Поставете четвъртия диск върху другата сега свободна пръчка и отново, следвайки рецептата с три диска, подредете трите горни диска върху четвъртия.

Можем да представим тази рекурсивна структура геометрично - като всяка игра, която позволява само ограничен брой позиции и се движи между тези позиции. Изчертаваме ъгъл за всяка допустима позиция и ръб за всяко движение между двете позиции (или техните ъгли), които се преобразуват една в друга чрез това движение. Общият резултат е графика. Ако, както в този случай, влакът също може да го обърне, ръбовете не са еднопосочни улици.

Извикайте графиката за версията с n среза З.н. Как изглежда тази графика? Нека да се срещнем З.3, т.е.графата, която описва позиции и движения в пъзела с 3 диска (снимка по-горе). Номерираме дисковете 1, 2 и 3, като 1 е най-малкият и 3 най-големият. След това номерираме лентите отляво надясно с 1, 2 и 3. Ако приемем, че диск 1 е на бар 2, диск 2 на бар 1 и диск 3 на бар 2. Можем да представим тази ситуация на играта чрез последователността 212, в която Цифрите показват последователно на коя пръчка са включени дисковете 1, 2 и 3. Фактът, че диск 3 е под диск 1, не се вижда веднага от тази илюстрация, а следва от правилата. Всяка позиция в пъзела с 3 диска съответства на такава трицифрена последователност. Има 3 3 = 27 позиции, тъй като всеки диск може да бъде поставен на всеки полюс, независимо от останалите.

Кои движения са разрешени от позиция 212? Най-малкият диск на всяка пръчка трябва да е отгоре. Така че не можем да поставим диск 2 на пръчка 2, защото тогава той ще лежи на по-малкия диск 1. Можем да изтеглим само от позиция 212 в позиции 112, 312 и 232. Графиката З.3 показва всички възможни ходове от всички 27 позиции. Състои се от три копия на графиката З.2, подредени в триъгълник и свързани с три ръба.

Всяка от графиките З.2 е разделен по подобен начин на три части; това е следствие от рекурсивната структура на разтвора. Ръбовете, на които трите екземпляра З.Connect 2 са точно ходовете, при които се премества най-големият диск. Трите З.2-графиките от своя страна съответстват на възможностите за преместване само на двата най-малки резена - по едно копие за всяка възможна позиция на третия филий. Същото важи и за всички З.n: Състои се от три копия на З.n-1, които са подредени във форма на триъгълник и свързани в ъглите. Тъй като броят на срезовете се увеличава, графиката изглежда все повече и повече като кривата на Sierpinski.

С помощта на графиката З.n можем да отговорим на всякакви въпроси относно кулите на Ханой. Например, графиката е очевидно свързана - тя се състои от едно парче; така че от всяка позиция можем да достигнем до всяка друга. Най-краткият път от обичайната начална позиция (единия ъгъл на най-големия триъгълник) до обичайната целева позиция (друг ъгъл) върви право по външната страна на графиката и има 2 н -1 ръба. Така че пъзелът е в 2 н -1 хода разрешим.

Преди около десет години математикът от Мюнхен Андреас Хинц изчисли средната дължина на най-краткия път между всякакви две точки на кривата на Sierpinski с помощта на Ханойските кули. Хинц доказа, че средният брой ходове, с които човек преминава от която и да е позиция в друга, е против (466/885) 2 н отива кога н става голям. От това следва, че средното разстояние между две точки на кривата на Sierpinski (по кривата) е 466/885, когато всяка страна на началния триъгълник е 1. За феновете на статистиката Hinz също доказа, че дисперсията на разстоянието между две произволно избрани точки на единичната крива на Sierpinski е точно 904808318/14448151575.

Библиография

Четири срещи с уплътнението на Sierpi´nski’s. От Ian Stewart в: The Mathematical Intelligencer, том 17, брой 1, стр. 52-64, 1995.