Поредица на Фурие

Поредица на Фурие. Разширение на Фурие на функция. Разширяване на функция в поредица от синуси и косинуси. Възможност за печат.

  • Редици на Фурие от периодични функции с период 2π.
  • Четни и нечетни функции.
  • Разширение на синуса на Фурие.
  • Редове на Фурие за произволен интервал.
  • Редици на Фурие от непериодични функции с период 2π.
  • Разширение на Фурие в косинуси.
  • Серии на Фурие на полупериод.
  • Полупериод на Фурие за функции, определени на интервала L ≠ 2π.

Редици на Фурие от периодични функции с период 2π.

Поредицата на Фурие позволява на човек да изучава периодични (непериодични) функции, като ги разлага на компоненти. Променливите токове и напрежения, изместванията, скоростта и ускорението на коляновия вал и акустичните вълни са типични практически примери за използването на периодични функции в инженерните изчисления.

Разширяването на редиците на Фурие се основава на предположението, че всички функции от практическо значение в интервала -π ≤x≤ π могат да бъдат изразени под формата на сближаващи се тригонометрични редове (серия се счита за конвергентна, ако последователност от частични суми, съставени от нейните членове се сближава):

Стандартна (= нормална) нотация чрез сумата от sinx и cosx

(един)

Когато за диапазона от -π до π, коефициентите на редицата на Фурие се изчисляват по формулите:

фурие

Извикват се коефициентите ao, an и bn Коефициенти на Фурие, и ако те могат да бъдат намерени, тогава се извиква поредицата (1) близо до Фурие, съответстваща на функцията f (x). За поредица (1) терминът (a1cosx + b1sinx) се нарича първи или основна хармоника,

Друг начин за писане на поредицата е да се използва съотношението acosx + bsinx = csin (x + α)

За серия (1) терминът (a1cosx + b1sinx) или c1sin (x + α1) се нарича първият или основна хармоника, (a2cos2x + b2sin2x) или c2sin (2x + α2) се нарича втора хармоника и т.н.

Обикновено се изискват безкраен брой членове, за да представят точно сложен сигнал. В много практически проблеми обаче е достатъчно да се разгледат само няколко първи термина.

Редици на Фурие от непериодични функции с период 2π.

Разширение на Фурие на непериодични функции.

Ако функцията f (x) е непериодична, тогава тя не може да бъде разширена във Фурие серия за всички стойности на x. Можете обаче да дефинирате серия на Фурие, представляваща функция във всеки диапазон от ширина 2π.

Ако е посочена непериодична функция, можете да конструирате нова функция, като вземете f (x) стойности в определен диапазон и ги повторите извън този диапазон на интервали от 2π. Тъй като новата функция е периодична с период 2π, тя може да бъде разширена във Фуриева серия за всички стойности на x. Например функцията f (x) = x не е периодична. Ако обаче е необходимо да се разшири в редица на Фурие в интервала от o до 2π, тогава извън този интервал се изгражда периодична функция с период 2π (както е показано на фигурата по-долу) .

За непериодични функции като f (x) = x, сумата от редицата на Фурие е равна на стойността на f (x) във всички точки в дадения диапазон, но не е равна на f (x) за точки извън обхвата. За да се намери серията на Фурие на непериодична функция в диапазона 2π, се използва същата формула за коефициентите на Фурие.