Полюси и нули
1. Въведение
Този документ показва как може да се проектира рекурсивен цифров филтър чрез поставяне на нулите и полюсите. Този метод е много ефективен за проектиране на филтри с много ниски гранични честоти (малка част от честотата на вземане на проби). Ще видим по-специално как да получим нискочестотен или честотно-лентов филтър с много широк интегриращ домейн, простиращ се от много ниска честота до честотата на Найквист.
2. Принцип
Разглеждаме линеен цифров филтър, дефиниран от следната рецидивираща връзка:
Коефициентите M + 1 an и N + 1 bn са реални.
За да изследваме честотната характеристика на филтъра, въвеждаме сложната променлива Z, дефинирана от:
където f е честотата, Te периодът на вземане на проби. За да опростим нотациите, използваме и намалената пулсация Ω. Когато честотата варира между 0 и честотата на Найквист (половината от честотата на вземане на проби), импулсът Ω варира между 0 и π. Следователно числото Z се движи по единичния полукръг.
Честотната характеристика на филтъра се получава с трансферната функция в Z:
Можем да запишем предавателната функция като съотношение на два полинома:
Нулите са N корени на числителя; ще ги обозначим ци. Полюсите са корените на знаменателя; ще ги обозначим с пи. За да бъде филтърът стабилен, е необходимо и достатъчно всички полюси да са вътре (строго) в единичната окръжност. Коефициентите на филтъра са реални, всеки нереален полюс (или нула) е свързан с неговия конюгиран комплекс.
Ето например биквадратична трансферна функция (M = N = 2), написана със своите полюси и нули:
Методът за поставяне на полюси ([1], [2]) се състои в определяне на филтъра чрез директно поставяне на полюсите и нулите.
Да предположим, че искаме да отменим H за определена ненулева пулсация Ωa. Трябва да дефинираме нула от модул 1 и аргумент Ωa и нейното конюгат:
Ако импулсът е нула, е достатъчна само една реална нула. Ако искаме да получим ниско, но ненулево усилване за тази пулсация, е достатъчно да дадем на тази нула модул, различен от 1 (по-малък или по-голям от 1).
За да се определи резонанс, т.е. максимален коефициент на усилване, е необходимо да се действа върху полюсите. Да предположим, че искаме да получим резонанс за импулс Ωb. Ако тази пулсация е различна от нула, трябва да се дефинират два конюгирани полюса:
Ако Ωb = 0, е достатъчен само един реален полюс. Модулът r1 трябва да бъде строго по-малък от 1, за да бъде филтърът стабилен. Колкото по-близо е този модул до 1, толкова по-силен е резонансът (толкова по-висок е максимумът). В някои случаи можем да изберем модул, равен на 1, който дава нестабилност за пулсацията Ωb (усилването клони към безкрайност за тази пулсация).
Полюсите и нулите са представени графично в комплексната равнина. Полюсите са представени с кръстове, нулите с кръгове.
Когато полюсите и нулите са дефинирани, константата b0 трябва да се определи в съответствие с желаното усилване, например максималното усилване за нискочестотен филтър.
Методът за поставяне на стълбове и нули е качествен метод. Трябва да начертаем честотната характеристика, за да получим количественото поведение на филтъра.
3. Филтри от първа поръчка
3.а. Интегратор
Определен е перфектен интегратор с полюс при нулева честота p1 = 1 и нула при честота на Найквист q1 = -1:
Фигура на цяла страница
Второто писане дава възможност да се получи рецидивиращата връзка, знаейки, че числителят z -1 съответства на закъснение от една единица за входа, знаменателят - закъснение от една единица за изхода:
Честотната характеристика е:
Усилването е безкрайно при нулев импулс, което означава, че филтърът е нестабилен, ако входният сигнал има нулева честота в своя спектър. Нестабилността идва от наличието на полюс върху единичния кръг. Ето графика на усилването и фазовото изместване:
За този филтър няма максимална печалба за задаване на константата b0. Ще определим тази константа според целта.
Да предположим, че човек се стреми да извърши истинска интеграция, която съответства на следната връзка в непрекъснато време: