Плоска крива е
Крива или линия - геометрична концепция, дефинирана в различните раздели на геометрията по различен начин.
Съдържание
Елементарна геометрия
В рамките на елементарната геометрия понятието крива не получава ясна формулировка и понякога се определя като "дължина без ширина" или като "граница на фигура". По същество в елементарната геометрия изследването на кривите се свежда до разглеждане на примери (права линия, отсечка, прекъсната линия, окръжност и т.н.). Липсвайки общи методи, елементарната геометрия проникна доста дълбоко в изследването на свойствата на специфични криви (конични сечения, някои алгебрични криви от по-високи порядъци, а също и трансцендентални криви), прилагайки във всеки случай специални техники.
Параметрични дефиниции
Най-често кривата се определя като непрекъсната дисплей от сегмент в пространство:
Освен това кривите могат да бъдат различни, дори ако изображенията им съвпадат. Такива криви се наричат параметризирани криви или ако [а,б] = [0,1], начини.
Понякога крива се определя до репараметризация, т.е. до минималното съотношение на еквивалентност, така че параметричните криви
и
са еквивалентни, ако има непрекъсната монотонна функция (понякога не намаляваща) з от сегмента [аедин,б1] към сегмента [а2,б2] такъв, че
Класовете на еквивалентност, дефинирани от тази връзка, се наричат непараметризирани криви или просто криви.
Йорданова крива
Йорданова крива Наречен форма непрекъснато инжекционно картографиране на кръг или сегмент в пространството. В случай на окръжност се извиква кривата затворена крива на Йордания, а в случай на сегмент - Йорданова дъга или проста дъга.
Трябва да се отбележи, че кривата на Йордан е доста сложен обект, например, възможно е да се изгради плоска крива на Йордан с ненулева мярка на Лебег.
Коментирайте
Има голямо изкушение да се определи крива като образ на непрекъснато картографиране на сегмент в пространството.
Възможно е обаче да се изгради такова непрекъснато картографиране на сегмент в равнина, че изображението му да запълни квадрат, например крива на Peano. Нещо повече, според Теорема на Мазуркевич, компактно свързано и локално свързано топологично пространство е непрекъснато изображение на сегмент. По този начин не само квадрат, но и куб с произволен брой размери и дори тухла Хилберт са непрекъснати изображения на сегмент.
Горното показва, че кривата не може да бъде дефинирана като непрекъснато изображение на сегмент, освен ако на картата не са наложени допълнителни ограничения.
Аналитични определения
В аналитичната геометрия крива на равнина се определя като набор от точки, чиито координати удовлетворяват уравнението F(х,у) = 0. Освен това функцията F се налагат ограничения, за да се гарантира, че
- това уравнение има безкраен брой несъвпадащи решения и,
- този набор от решения не запълва "парчето от равнината".
Алгебрични криви
Важен клас криви са тези, за които функцията F(х,у) е полином в две променливи. В този случай кривата, дефинирана от уравнението F(х,у) = 0 се нарича алгебричен.
- Алгебричните криви, дадени от уравнение от 1-ва степен, са прави линии.
- Уравнение от 2-ра степен, което има безкраен набор от решения, дефинира квадрики, тоест дегенерирани и недегенерирани конични сечения.
- Примери за криви, определени от уравнения от 3-та степен: Diocles cissoid, Декартови листа.
- Примери за криви от 4-та степен: Бернили лемнискат и овал Касини.
- Пример за крива, дефинирана от уравнение на четна степен: (мултифокално) лемнискат.