Перфектни числа, образователна социална мрежа

Това е първата ни творческа работа, в която заехме достойно 2-ро място.

Х градска научно-практическа конференция на учениците "Първи стъпки в науката"

Автонеев Юрий Александрович

ж. Толиати, MBU средно училище номер 59, клас 6

Колова Елена Валериевна,

учител по математика, средно училище номер 59 на MBU

Основната цел на работата: изследване на перфектни числа и тяхната история.

Тази тема е интересна с това, че все още не е напълно проучена от учените. При работа по тази тема бяха зададени следните задачи:

1) разберете какво са перфектните числа и как да ги намерите;

2) разберете каква формула съществува и покажете как да я прилагате;

3) разберете кой е открил първите съвършени числа.

Основните методи за решаване на възложените задачи: методът за наблюдение на числата; метод за подбор и вземане на проби; четене на допълнителна литература; метод за обобщение.

Част 1. Основни понятия, използвани в работата

1. Идеална цифрова концепция

Перфектното число е естествено число, равно на сумата на всички негови собствени делители (т.е. всички положителни делители, различни от самото число). С увеличаването на естествените числа перфектните числа стават все по-рядко срещани.

1. Евклидова формула

Алгоритъмът за конструиране на дори перфектни числа е описан в IX книга на Принципите на Евклид, където е доказано, че числото P = (- 1) е перфектно, ако числото q = - 1 е просто число на Мерсен. Впоследствие Леонард Ойлер доказа, че всички дори перфектни числа имат формата, посочена от Евклид.

Част 2. Изложение и решение на проблеми

2.1. Доказателство за теоремата на Евклид.

Нека числото 2 n-1 (2 n -1) има прост фактор в скоби. Тогава делителите на това число, различни от самото число, ще бъдат

1, 2, 4,. ... ..., 2 n-1, (2 n -1), 2 (2 n -1), 4 (2 n -1),. ... ..., 2 n-2, (2 n -1).

Нека вземем сумата на всички тези делители:

(1 + 2 + 4 + 8+. + 2 n-1) + (1 + 2 + 4 + 8+. + 2 n-2) (2 n -1) = (2 n -1) + (2 n -1 -1) (2 n -1) = = 2 n-1 (2 n -1).

Следователно числото 2 n-1 (2 n -1) е перфектно.

Числата от поредицата 2 n - 1 се наричат ​​числа на Мерсен след френския математик от 17 век, който ги е изучавал. На фигура 1 се попълват клетките, в които след изваждане на 1 се получават числата на Мерсен. На дъската има 9 такива клетки - те съответстват на първите девет перфектни числа.

2.2. Свойства на перфектни числа

Перфектните числа притежават множество загадъчни и в същото време забележителни свойства. Например, всички перфектни числа са „триъгълни“. Това означава, че ако вземем, да речем, топки в количество, равно на перфектното число, тогава те могат да бъдат подредени така, че да образуват равностранен триъгълник.

---