Нормален MathGuru
Производната на функция в дадена точка е равна на наклона на допирателната в тази точка. Нормалът преминава перпендикулярно (ортогонално) на допирателната в тази точка на контакт. Наклонът му е отрицателната реципрочна стойност на наклона на допирателната.
Нека f (x) е функция, която е диференцируема, тогава нормалата в точка a се определя от следното уравнение:
Както се вижда, общото нормално уравнение е много подобно на общото уравнение на допирателна.
Установете нормално уравнение
С нашата примерна функция f (x) = x ² първата производна би била f '(x) = 2 · x .
На фигурата вдясно виждаме f (x) в синьо, допирателната в червено и нормалната в зелено.
Метод # 1
По-простият метод е да се използва общото нормално уравнение (вж. Определението по-горе). За да направите това обаче, трябва да запомните уравнението по-горе, тъй като то не се предлага в повечето формули. Останалото обаче е просто вмъкване и изчисляване:
Метод # 2
Вторият метод изисква повече изчислителни усилия, но може да бъде извлечен и по-лесно, например при изпит.
Първо трябва да изчислим наклона на допирателната m t във въпросната точка a. За това се нуждаем от първата деривация:
За да бъдат два наклона перпендикулярни един на друг, техният продукт трябва да бъде -1. Такъв е случаят, когато единият наклон е отрицателната реципрочна стойност на другия. Наклонът на нормалния m n е:
Тъй като нормалната е права линия, тя изпълнява общата Уравнение с права линия y = m · x + b, където m е наклонът, а b е отсечката y-ос. Вече знаем стойността на m, сега все още се нуждаем от стойността на b. За целта трябва да вмъкнем координатите на точката, през която нормалата трябва да премине като x и y. Точката има x -координата на a и y -координата на f (a) и по този начин P (1; 1). По този начин нашето уравнение с права линия е:
Ако решим за b, получаваме:
Така че уравнението на нормалното е
и по този начин съответства на уравнението, което установихме с първия метод.