Например в ...
Взаимодействията са контрасти, които произтичат от продукта на други контрасти. Контрастите ни помагат да разберем дали ефектите, които откриваме чрез други контрасти, зависят от характеристиките на други фактори. Нека да разгледаме няколко примера:
- Възможно е ефективността на учебната стратегия да зависи от предварителните познания на обучаемия. Учещите с високо ниво на предварителни знания се възползват от стратегията за обучение, а учащите без предварителни знания не се възползват от стратегията за обучение.
- В природата ефективността на различните видове торове взаимодейства в зависимост от това дали торът се добавя през зимата или пролетта. Тъй като растенията почти не растат през зимата, торът не работи през зимата, но работи през лятото.
- Възможно е също така ефективността на различните диети да зависи от пола на човека. Докато Диета 3 е по-ефективна при мъжете, отколкото Диета 2 и Диета 1, този ефект не се открива при жените.
Следователно взаимодействията ни позволяват да задаваме по-конкретни въпроси относно набора от данни и да задаваме гранични условия за ефекти. В тази част ще се опитаме да разберем взаимодействията по-точно, използвайки линейния модел.
10.3.1 Основни ефекти и специфични контрасти
Първо, нека започнем с по-простото тълкуване на основните ефекти. Процедурата за проверка на основните ефекти не се различава от нашата процедура в предишните модули. Създаваме два модела (разширен и компактен) и използваме F-тест, за да проверим дали допълнителните параметри намаляват грешките над средното. Тъй като коефициентите на тези параметри позволяват конкретна интерпретация, можем да ги използваме, за да отговорим на статистически въпроси. Например успяхме да тестваме средните разлики в t-теста за независими проби, тъй като коефициентът \ (b_1 \) представлява средните разлики. На свой ред проверяваме основните ефекти, като премахваме всички контрасти от разширения модел и тестваме разликите в характеристиките на фактор:
| \ (\ ламбда_ \) | Диета 1/2 срещу Диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ ламбда_ \) | Диета1 срещу Диета 2 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ ламбда_ \) | Мъжете срещу Жени | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ ламбда_ \) | Взаимодействие \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ ламбда_ \) | Взаимодействие \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Тази следваща двойка модели например тества дали диетите се различават по своята ефективност. Тъй като два контраста описват ефективността на диетите, ние ги премахваме в компактния модел, за да изследваме основния ефект от диетата:
Конкретни контрасти ни дават възможност да проверим конкретни хипотези. Например въпросът дали Диета 3 е по-добра от Диета 1 и 2?
\ [\ започни \ шапка & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ шапка & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ end \]
10.3.2 Бета коефициенти при взаимодействия
Много по-трудно е да се разбере какво означават параметрите при взаимодействията. Нека да разгледаме контраста \ (\ lambda_ \):
| \ (\ ламбда_ \) | Диета 1/2 срещу Диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ ламбда_ \) | Мъжете срещу Жени | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ ламбда_ \) | Взаимодействие \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ ламбда_ \) | Взаимодействие \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (12) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- 2) * (-1) \) |
Формално знаем, че теглото на контраста е умножаването на други контрасти. След това нека се опитаме да изчислим бета коефициента за контраст:
На първо място, трябва да намерим груповите средства:
| 1 | 0 | -3.050000 |
| 1 | 1 | -3.650000 |
| 2 | 0 | -2.607143 |
| 2 | 1 | -4.109091 |
| 3 | 0 | -5.880000 |
| 3 | 1 | -4.233333 |
Използвайки тези средни стойности, вече можем да изчислим бета коефициента:
Бета коефициентите на целия модел са:
Сега преобразувахме контрастните тегла за нашия разширен модел в рамка за данни. След това можем да предадем тези контрасти на функцията lm, за да изчислим параметрите:
Това води до следния модел:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 Значение на бета коефициента на контраст \ (\ lambda_ \)
За да разберете какво означава бета коефициентът на взаимодействие, помага първо да преминем през по-простия пример за контраст \ (\ lambda_ \):
| \ (\ ламбда_ \) | Диета 1/2 срещу Диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
Коефициентът \ (0,567 \) означава средната стойностна разлика между групите Diet1 и Diet2 и група 3. Използваме този контраст, за да проверим дали Diet 3 води до по-голямо намаляване на теглото от другите две диети. В подкрепа на това твърдение преформулираме изчислението на бета коефициента:
За нашата хипотеза Diet3 vs. Диета 1/2 е коефициентът:
Като правим малка алгебра, можем да преобразуваме коефициента в следната форма:
След това разделяме всяка страна на 2:
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) не е нищо повече от средната стойност на хората, получили диета 1.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) е средната стойност на хората, получили диета 2.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) е средната стойност на хората, получили диета 3. Така че можем да преформулираме уравнението, като дадем тези изчисления, като групата означава:
Следователно коефициентът не проверява нищо друго освен въпроса дали средната стойност на група 3 е равна на средната стойност на другите две диетични групи:
За да преминем през бета коефициента на взаимодействие, сега ще направим подобно нещо.
10.3.4 Значение на бета коефициента на контраст \ (\ lambda_ \)
Нека приложим същия принцип към първото взаимодействие \ (\ lambda_ \). Взаимодействието проверява дали Diet 3 vs. Диета 1/2 зависи от това дали мъжете или жените са на диети.
| \ (\ ламбда_ \) | Взаимодействие \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
Параметърът \ (b_4 \) се изчислява, както следва:
Чрез разделяне на числителя и знаменателя с по 2 получаваме:
Вече можете да видите, че в скобите е същият въпрос, който си зададохме с \ (\ lambda_ \). Диета 3 по-ефективна ли е от диета 1 и диета 2?
Този път обаче се чудим дали разликата в тези диети е еднаква за мъжете и жените?
И коефициентът \ (b_4 \) означава точно този въпрос. В нулевата хипотеза приемаме, че няма разлика между тази разлика:
След като F-тестът е важен, приемаме, че ефектът от диета 3 vs. Диетата 1/2 е различна за мъжете и жените. В този случай изчисляваме Simple Effects, за да разберем каква е разликата.
10.3.5 Визуализация
За да получите по-добро разбиране на взаимодействията, често е препоръчително да разгледате визуализацията на средните стойности. Визуализацията трябва да изглежда така, че диетата е представена на оста X, а намаляването на теглото - на оста Y. Отделни линии маркират пола. Първо трябва да изчислим различната мярка за намаляване на теглото и да преобразуваме факторите във фактори в R:
След това изчисляваме средните стойности за всяка група:
И визуализирайте средните стойности на групата:
Всъщност ефектът от Диета 3 изглежда много по-добър за жените, отколкото за мъжете. За да тестваме тази интуиция, ние изчисляваме прости ефекти след значително взаимодействие.
10.3.6 Прости ефекти и анализ след хок
Взаимодействията просто ни казват, че има разлика в един ефект в зависимост от тежестта на друг фактор. Те обаче не ни казват каква е тази разлика. За това изчисляваме или прости ефекти, или post-hoc тестове.
Простите ефекти не са нищо повече от дисперсионни анализи, които изчисляваме за няколко стойности на фактор. Например, бихме могли да противопоставим Diet 3 vs. Тествайте диета 1/2 в еднопосочен дисперсионен анализ при мъжете и при жените.
В post-hoc тестовете обикновено сравняваме всички възможни групови двойки помежду си и ги проверяваме за значимост. С други думи: изчисляваме t-тест за всяка групова двойка и коригираме алфа нивото, за да избегнем инфлация на грешка от тип I. Ще се върнем към това по-късно в подробния пример.
Уверете се също, че основните ефекти на взаимодействията не могат да бъдат интерпретирани, тъй като основните ефекти зависят от характеристиките на друг фактор. Ето защо винаги е препоръчително да се докладват простите ефекти по време на взаимодействията и да не се тълкува основният ефект.