Напомняния за квантова механика на аналитичната механика
Тези страници много кратко припомнят класическата и аналитичната механика, за да могат да добият представа за стандартния модел на елементарните частици.
Можете да прегледате връзките към всички статии в Уикипедия или други сайтове, които могат да ви отведат по-далеч.
Целта на аналитичната механика е да опрости и обобщи нютоновата механика, особено в системи, при които движенията са обект на ограничения или смущения.
- За да илюстрира тези проблеми, класически поучителен случай на ограничение и лесен за решаване е този на двойното махало.
- Аналитичната механика дава възможност да се игнорират неизвестните, които усложняват проблема, като се използват координати, които не са подложени на никакви ограничения.
Теорията на пертурбациите е област на математиката, което се състои в изучаване на контекста, където е възможно да се намери приблизително решение на уравнение, започвайки от решението на по-прост проблем.
Например, ние търсим приблизително решение на уравнение $ E_ \ lambda $, в зависимост от параметър $ \ lambda $, знаейки, че решението на уравнението $ E_0 $, съответстващо на стойността $ \ lambda = 0 $, се знае точно.
Общ преглед
Аналитичната механика изучава еволюцията на степени на свобода на сложна система и вече не се опира на материалната точка на Нютон, в така нареченото конфигурационно пространство
- Конфигурационното пространство е набор от възможни позиции, които тази система може да достигне.
- Тогава позицията и инерцията се изразяват в това конфигурационно пространство и ни водят до уравненията на Лагранж и Хамилтън.
Това е вариационен метод, който не определя във всеки момент движението на частицата, но когато човек дава като условие интегралът, свързан с цялото движение, да бъде екстремален: търсим крива с минимална (или екстремална) дължина, с други думи геодезична.
Обобщени координати, които може да не съответстват на декартови координати, откъдето идва и името им, - относителни позиции, но също така и ъгли ... - са координати, независими от ограниченията и недвусмислено дефинират механичното състояние на системата, която поддържа ограниченията.
- Двойно движение на махалото Тези координати се означават $ q_i $, $ \ $ с $ n \ leqslant 3N $, където N е броят на точките, използвани за описване на системата.
- Движението може да се изчисли, като се използва диференциално уравнение за всяка от тези координати.
В случай на двойно махало, само две независими променливи, ъглите $ \ theta_1 $ и $ \ theta_2 $ са достатъчни, за да опишат движението на системата: ние ще вземем предвид само тези две обобщени координати срещу 6 за позицията на двете маси.
Лагранжева формулировка
След това можем да използваме лагранжева механика, кръстена на Джоузеф-Луис Лагранж (1736–1813).
В лагранжевата механика, лагранжевият $ \ mathcal L [\ varphi_i] $ на динамична система е функция от динамични променливи, която позволява да се запишат кратко уравненията на движението на системата.
- Ако обобщените координати на частиците са $ \ _ $ и техните скорости, $ \ _ i \> _ $ с $ \ dot_i = \ dfrac $, тогава функцията се записва: $ \ mathcal L (q_i, \ dot_i, t ) $
- Джоузеф-Луис Лагранж (1736–1813) Действието върху системата е тогава между времената $ t_1 $ и $ t_2 $ между $ q (1) $ и $ q (2) $, които са началната и крайната стойност на обобщените координати: $ S = \ int \ limit _ ^ \; L (q_i, \ dot_i, t) dt $.
Вариационният принцип (принцип на най-малкото действие) постулира екстремния характер на интеграл, изчислен по траекторията.
- Тази функция зависи само от позиции и скорости (ред 2, по отношение на времето)
- Той взема предвид първоначалните и крайните позиции на всяка координата (и времето), а не първоначалните позиции и скорости.
Нека вземем две възможни траектории между $ q (1) $ и $ q (2) $, първата е $ q_i (t) $, втората варира само $ \ delta q_i (t) $ от предишната. Траектории, подчиняващи се на еднакви начални и крайни позиции: $ \ delta q (1) = \ delta q (2) = 0 $.
- Вариацията $ \ delta S $ на действието е: $ \ delta S = \ int \ limit _ ^ \; (L (q_i + \ delta q_i, \ dot_i + \ dot_it, t) -L (q_i, \ dot_i, t)) dt $.
- Чрез разработване (вж. Демонстрация), намираме: $ \ dfrac \ left (\ dfrac_i> \ right) = \ dfrac $, ако $ (1 \ leqslant i \ leqslant n) $, тоест уравненията на Euler-Lagrange.
Ако обобщените координати съответстват на декартови координати, тогава: $ \ nabla_L = d \ nablaL/dt $, чрез включване на лапласианските оператори по отношение на позициите и скоростите на частиците.