Монотонни класически модални логики
Идеята за използване на апарата на модалната логика в задачите за представяне на знания за интелигентни системи за различни цели започва да придобива все по-солидни позиции заедно с такива общопризнати модели като семантични мрежи и техните разновидности - рамки. За инженеринга на знанието са важни не само формалните системи на модалната логика (т.нар. Синтактични системи), но и възможните интерпретации или моделтакива системи, т.е. семантика. Ще се съсредоточим както върху синтактичните, така и върху семантичните аспекти на този проблем. За по-добро разбиране на немонотонните разсъждения, ние първо очертаваме основните концепции на класическите модални логики, които са в основата на изграждането на немонотонни логики. Започваме с предикатното смятане от първи ред, което е основата за изграждане на модални логики.
2.1. Калкулация на предикати от първи ред като основа за изграждане на модална логика
1. Аксиоми на класическото съчинително изчисление (Ръсел-Бернайс).
където p, q, r са предложения променливи.
Понятието за добре оформена формула (по-долу просто формула) обикновено се дефинира и не се дава тук.
2. Аксиоми на предикатното смятане, изразени като схеми.
2.2. Нека y/x е резултат от заместване на y за всяко свободно появяване на променливата x в P. Тогава, ако y не е свързано в P на онези места, където променливата x е свободна, тогава xP (y/x) P.
Тук P и Q са предикати на предикатното смятане, ax и y са предметни променливи.
3. Правила за отказ.
Правилото за заместване в нашата система с аксиомни схеми не се изисква.
3.1. Modusponens (правило за разделяне): ако├P и├PQ, тогава├Q.
3.2. Правило за генерализация: ако P, тогава xP при условие, че x не е безплатно в P.
4.1. x P означава xP.
4.2. P
4.3. P
Представяме (без деривация) основните теореми (написани под формата на схеми) и правилата на предложеното смятане.
6. Подаване (променливата y не е свързана в P на местата, където x е свободен).
7. Разпределителност на кванторите по отношение на & и .
7.1. ├ x (P & Q) (x P & x Q).
7.2. ├ (x P x Q) x (P Q).
7.3. ├ x (P Q) (x P x Q).
7.4. ├ x (P & Q) (x P & x Q).
8. Разпределителност на кванторите във връзка с и .
8.1. ├ x (P Q) (x P x Q) (= 2.1).
8.2. ├ (x (P Q) & x P) x Q.
8.3. ├ x (P Q) (x P x Q).
8.4. ├ (x (P Q) & x P) x Q.
8.5. ├ x (P Q) (x P x Q).
8.6. ├ x (P Q) (x P x Q).
9. Правила за приспадане.
9.1. Ако ├x (PQ), тогава xPxQ.
9.2. Ако ├x (PQ), тогава xPxQ.
9.3. Ако ├x (PQ), тогава xPxQ.
9.4. Ако ├x (PQ), тогава xPxQ.
Тук логическите свързвания и ред са обичайните последици и съответствия съответно (понякога те се наричат материални съединители) и
2.2 Спомагателна логика като основа за преход към модално изчисление на предложения
В логиката на предикатите от първи ред всяко изречение (формула на свободните променливи) е твърдение за някакъв определен факт. Но на естествен език те често говорят за допустимостта на нещо, за хипотетични събития, цели, които човек може да се опита да постигне. Повечето фрази на езика могат да бъдат или верни, или неверни, в зависимост от обстоятелствата, текущия момент, гледната точка на всеки от нас. В естествените езици модалностите „възможно“, „необходимо“ се изразяват с помощни глаголи като „мога“ и „трябва“.
Модалните характеристики на изказванията са изучавани през цялото време на развитието на логиката. Дори Аристотел, заедно с асертивната силогистика, т.е. теория на извода от твърдения с формата "P е присъщо на всяко S", "P не е присъщо на нито едно S", "P е присъщо на някои S" и "P не е присъщо на някои S", считано за модална силогистика. Предпоставките и заключението на модалния силогизъм могат да включват изявления от формата „Pнеобходимоприсъщи на всички S "," Pможе биприсъщи на всички S ”и др. (Това използване на модални изрази по-късно беше наречено modality dere). Въпреки че нямаме общоприета конструкция на модалната силогистика на Аристотел, особеността на модалната силогистика на Стагирит се крие във факта, че тя позволява преминаването от необходимата по-голяма предпоставка и напористата по-малка към необходимото заключение: от „P е задължително присъщо на M ”и„ M е присъщо на ”до„ P непременно присъщо. ”.
Извикват се възможност и необходимост естетически модалностиилимодалности на възможностите. Точно както и кванторите и бяха въведени в синтаксиса на логиката от първи ред, възможно е да се изгради официален език, използвайки двойка концепции, евентуално/необходими като квантори, действащи върху формули. Извиква се логическа система, базирана на операторите „възможно е“ и „необходимо е“логиката на възможнотоилиестетическа логика.
Символът се използва, за да обозначи модалността „необходима“. Формулата F се чете „необходимо е F“ или „F е необходимо“. Формулата F е вярна тогава и само ако F е непременно вярна. Двойният оператор се обозначава с. Формулата F гласи „възможно е F“ или „F е възможно“. F е вярно, ако F може да е истина. Един от тези оператори се приема като основен, а другият се дефинира чрез него и отрицанието (еквивалентността FF може да се установи с помощта на аргументи, подобни на тези, използвани при доказването на отношенията хFх F).
Естественият език използва други модални форми, които могат да бъдат пренесени в логиката. Деонтична логикавъвежда модалностите "разрешено" и "задължително", които прилагат модални езикови конструкции "позволено" и "необходимо е".Епистемична логикаилилогика на знаниетоизследва модалностите на "знание" и "вяра", докатовремева логикавъвежда модалностите "понякога" и "винаги" ("в бъдещето" и "в миналото") заедно с техните отрицания на "често" и "никога".
Понякога се използва терминът модална логиказа обозначаване на съвкупността от всички тези логики. Но най-старата сред тях е Алетичната логика. Затова най-често се нарича модален.
Модалната логика, за разлика от предикатната логика от първи ред, разглежда изявления при определени обстоятелства, случаи. Ние не даваме на термина „случай“ точно значение, например, не идентифицираме случая с момент във времето или с възможни светове, поне по принцип. Точните значения на този термин могат да бъдат въведени в модални логически приложения. Обърнете внимание само, че разликата в случаите не трябва да се приравнява на разликата в индивидите или предикатите. За да обозначим „случай“ или „обстоятелство“, въвеждаме съответната променлива t. Това е променлива от специален вид, различна от предметните променливи. Изразът „eventp възниква в случай на t“ се записва като pt. Изявлението „eventp се случва с необходимост“ е изразимо на нашия спомагателен език с помощта на tpt (за всяко t, събитието p се случва в случай t), а „event-possible“ е изразимо в tpt (за някои събитието p възниква в случай на t).
Преди да преминете към модалното изчислително предложение, помислете за някакво междинно (спомагателно) смятане, при което във всеки предикат се въвежда допълнителна променлива t, а модалностите се изразяват с помощта на квантори.
Даден е безкраен списък с променливи p, q, r, s. което в нашето помощно смятане ще обозначим с P, Q, R, S,. и променливата t през T.
Изреченията от това смятане са дефинирани рекурсивно, както следва:
изрази на формата PT– изречения. Нито P, нито T обаче се предлагат поотделно;
ако M е изречение, тогаваTM иTM също са изречения.
Постулатите на спомагателното смятане са формулирани „успоредно“ на постулатите на предикатното смятане от 1-ви ред. В този случай е необходимо да се вземе предвид следното.
Правилото за образование трябва да бъде такова, че изразът KтКTPT (къдетоКиK означават или) е добре оформен. INKтКTPT най-дясното T е свързано с вътрешен кванторКт.
Правилото за обобщение, паралелно на правило (3.2), е по същество.
Може да се докаже, че KтКTPT е строго еквивалентен наКTPT.
Няма аналог на аксиома (2.3), т.е. помощното смятане е аналогично на унарното предикатно смятане.
Очевидно е, че ако някакъв израз на предикатното смятане от 1-ви ред е доказуем, тогава съответният израз на спомагателното смятане също е доказуем.
Сега се обръщаме към модално изчисление на предложения чрез следното заместване:
pt, qt, rt,.,T, t,
Поради индивидуалната кореспонденция, тази замяна запазва доказуемостта.