Матрични операции - Математика
4. Матрични операции
4.1 Умножение на матрицата
Има два възможни начина за въздействие върху дадена функция от оператор в рамките на теорията на вейвлет. Те се наричат стандартно и нестандартно матрично умножение.
За достатъчно гладки функции повечето от техните коефициенти на вейвлет са достатъчно малки. За широк клас оператори повечето от техните матрични елементи също са малки. Помислете за структурата на онези елементи от матричното представяне на някой оператор T, които са достатъчно големи. Матричните елементи удовлетворяват следните отношения.
в, (4.1.1)
в, (4.1.2)
Топологията на разпределението на тези елементи на матрицата в матрицата може да бъде доста объркваща.
Нека разгледаме действието на оператора T върху функция f, която го превръща във функция g.
(4.1.3)
Както g, така и f могат да бъдат представени като вейвлет серии с коефициенти на вейвлет (f sj, k; f dj, k) и (g sj, k; g dj, k). На най-подробното ниво на разделителна способност jn само s-коефициентите са ненулеви и трансформацията има формата
. (4.1.4)
На следващото ниво стигаме
, (4.1.5)
, (4.1.6)
и заместването на индексите S®D съответства на заместването j®y под интегралния знак.
Съществува връзка между различните нива, тъй като всички s-коефициенти на това (jn-1) -то ниво трябва да бъдат разложени с помощта на бързо преобразуване на вейвлет в s- и d-коефициенти от по-високи нива. Следователно, дори да има почти диагонална форма в началния етап, тогава стандартната матрица придобива доста сложна форма, както е показано на фиг. 1.
На последния етап имаме работа с представяне на вейвлет, описано с формула (2.1), при което във векторите остава само един s-коефициент, който представлява среднопретеглената стойност на функцията през целия интервал от нейното присвояване, и SS преходът от f към g е описан от горния ляв квадрат на тази фигура. В същото време, по пътя към тази формула от мащабиращото представяне, трябваше да се справим със средните стойности на междинните нива, след което да ги разложим на всеки етап на части, s и d, от следващите нива на резолюция. Тези междинни s-фактори са пропуснати, защото сме ги заменили с s- и d-фактори от следващите нива. Ето защо крайната матрица със стандартния подход приема толкова сложна форма.
Фиг. 1. Представяне на матрицата в стандартния подход за анализ на вейвлет.
Части от матрицата с ненулеви коефициенти на вейвлет са засенчени.
За да се опрости видът на представяне на матрицата, беше предложено да се използва свръх определен набор от коефициенти на вейвлет. Нека съхраним тези осреднени величини като съответните междинни s-коефициенти както в началния, така и в крайния вектор, представляващи функциите f и g. Разбира се, в този случай ще трябва да се справим с редуцируеми вектори, които са много по-големи от тези, необходими за окончателния отговор. Известен е обаче алгоритъм за преобразуване на тези предефинирани изрази в окончателната им, недефинирана форма. В същото време по този начин е възможно значително да се опрости формата на матрицата за преобразуване и числените изчисления.