Математически олимпиади и олимпиадни задачи
Цел 1: Подредете четири единици, три двойки и три тройки [три единици, четири двойки и три тройки] в кръг, така че сумата от произволни три последователни числа да не се дели на 3.
Решение: Опция 1:
Задача 2: Естествено число може да се умножи по две и числата да се пренаредят в него по произволен начин (забранено е само да се постави нула на първо място). Докажете, че е невъзможно да превърнете числото 1 в число 811 [411], като използвате такива операции.
Решение: Отговор: не.
Решение 1. Ако може да се получи числото 74 [78] от числото 1, то чрез извършване на операциите по пренареждане на числата и разделяне на четното число на 2, от числото 74 [78] може да се получи 1. Нека опитаме: пренареждането на числата води само до числото 47 [87], което не се дели на две, така че по-нататъшните действия с него няма да дадат нищо ново; разделянето на числото 74 [78] на две ни дава числото 37 [39], което само по себе си е нечетно, а числото 73 [93], получено от него чрез преместване на цифрите, също е странно. По този начин опитът да се извършат обратните преобразувания води до само три нови числа, сред които няма никой.
Решение 2. При извършване на операции броят на цифрите на числото не намалява, така че ако получим число, състоящо се от три или повече цифри, тогава по-нататъшните действия с него никога повече няма да ни доведат до двуцифрено число. Диаграмата показва всички възможни начини за използване на операции, като се започне с числото 1 и се стигне до момента, докато се получи трицифрено число. Както можете да видите, числото 74 [78] не може да бъде получено.
Решение 3 (за втората опция): обърнете внимание, че посочените операции не могат да направят число, делимо на 3 от число, което не се дели на 3.
Цел 3: На остров Бад късмет живеят 100 [200] души и някои от тях винаги лъжат, а останалите говорят само истината. Всеки жител на острова почита един от трите богове - бога на слънцето, бога на луната или бога на земята. На всеки жител на острова бяха зададени три въпроса: