Лекция 5 Булево производно и неговото приложение за изчисляване на наблюдаемостта Определяне на bnx
и приложението му за изчисляване на наблюдаемостта
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА PSUx. Булевата производна (BP) на функцията F (X), X =, по отношение на променливата xi е логическа функция на формата
dF (X)/dxi = F (x1,. xi,. xn) F (x1. xi,. xn),
където · - сумата "по модул две";
xi - обратна стойност на xi.
Този израз е еквивалентен на следното
dF (X)/dxi = F (x1,. 1.xn) F (x1. 0,. xn).
Например BP на функцията F (X) = x1x2 + x2x3 по отношение на променливата x1 ще има следната форма:
dF (X)/dx1 = (x1x2 + x2x3) (x1x2 + x2x3).
За да опростите конструирания израз, заменете логическото ИЛИ със сумата "по модул две":
dF (X)/dxi = x1x2 x2x3 x1x2x3 x1x2 x2x3 x1x2x3.
След елементарни трансформации получаваме dF (X)/dxi = x2x3.
За логическата функция F (X), представена от суперпозицията на други функции f1 (X),. fm (X):
по аналогия с дефиницията на BPx въвеждаме
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НА PSU f. Булева производна на функция
чрез функция fi (X) се нарича логически израз на формата:
dF (X)/dfi (X) = F [X, f1 (X),. fi (X),. fm (X)] ·
- F [X, f1 (X),. fi (X),. fm (X)] .
Например BP на функцията F (X) = F [X, f (X)] = x1x2 + f (X), чрез функцията f (X) = x2x3 се определя, както следва:
dF (X)/df (X) = [x1x2 + f (X)] · [x1x2 + f (X)].
В получения израз логическото „ИЛИ“ се заменя с „изключително ИЛИ“:
dF (X)/df (X) = [x1x2 · f (X) · x1x2f (X)] ·
- [x1x2 · f (X) · x1x2f (X)].
След трансформации най-накрая получаваме: dF (X)/df (X) = x1 + x2. Като цяло изчисляването на минималните изрази на BP е доста сложна процедура, което се потвърждава от горните примери. За простота е препоръчително да приложите следното
Захранващ блок
A1) dF '(X)/dxi = dF (X)/dxi;
A2) dF (X)/dx'i = dF (X)/dxi;
A3) d [dF (X)/dxj]/dxi = d [dF (X)/dxi]/dxj;
A6) d [F (X) · G (X)]/dxi = dF (X)/dxi · dG (X)/dxi;
A7) dF (X)/dxi = 0, ако F (X) не зависи от xi;
A8) dF (X)/dxi = 1, ако F (X) = xi;
A10) d [F (X) + G (X)]/dxi = F '(X) & dG (X)/dxi, ако F (X) не зависи от xi.
PRI ме r. Определете BP на функцията F (X) = x1x2 + x2x3 по x1. Според свойство A10 имаме:
d (x1x2 + x2x3)/dxi = (x2x3) & d (x1x2)/dx1 .
Прилагайки свойство A9, най-накрая получаваме:
dF (X)/dx1 = (x2x3) & x2 = x2 x3,
което съвпада с получения по-рано резултат, без да се използват горните свойства.
BP свойствата са приложими и към производната по отношение на функцията.
PRI ме r. Вземете BP на функцията F (X, f (X)) = x1x2 + f (X) от функцията f (X) = x2x3.
Прилагайки последователно свойства A10 и A8, получаваме:
dF (X, f (X))/df (X) = (x1x2) & df (X)/df (X) = x1 + x2.
Примерите показват, че използването на свойства А1. A10, улеснява получаването на изрази на BP. Получаване на минимални изрази на BP дори с използването на свойства А1. A10 все още е доста трудоемък процес. В някои случаи тя може да бъде опростена, ако оригиналната функция е представена не в DNF, а в полиномна форма или като полином на Жегалкин.
Както знаете, дизюнктивната нормална форма (DNF) на функцията F (X) е израз на формата:
,
където Ki = x1 l1 & x2 l2 &. & xni lni - елементарни съвпад върху промени над променливи на функция F (X). DNF, в който всяка връзка има ранг n, където n е броят на променливите на функцията F (X), се нарича дизюнктивна перфектна нормална форма (DSNF). Следователно съединенията в DSNF могат да бъдат представени по следния начин:
Ki = x1 l1 & xi l2 &. & xn ln,
тези. те включват всички променливи на функцията F (X).
Полиномиалната нормална форма (PNF) на функцията F (X) е логически израз, представен в основата (&, ·, NOT):
PNF може да се получи от DNF чрез прилагане на следното съотношение:
a1 + a2 = a1 a2 a1a2.
Полиномът на Жегалкин на функцията F (X) е израз на формата:
където K`i = xi1 & xi2 &. & xini - съвпадение на променливи от функция F (X).