КОНЦЕПЦИЯТА НА ОБЛАСТТА И НЕЙНОТО РАЗМЕР, История на развитието на концепцията за площ и нейното измерване - Характеристики
Историята на развитието на концепцията за площ и нейното измерване
Произходът на геометричните знания, свързани с измерването на площите, се губи в дълбините на хилядолетията.
Дори преди 4-5 хиляди години вавилонците са изчислявали площта на парцелите под формата на правоъгълник и трапец в квадратни единици. От древни времена квадратът се използва като единица за измерване на площта, тъй като той е със забележителни свойства: равни страни, равни и прави ъгли; квадратът има ос и център на симетрия и перфектна форма. Квадратите са лесни за изграждане и могат да се използват за покриване на всяка форма без пропуски.
Преди около 4000 години египтяните определяха площта на правоъгълник, успоредник, триъгълник и трапец по същия начин, както ние. Тоест, за да се определи площта на правоъгълника, дължината се умножава по ширината; за да се намери площта на триъгълник, основата на триъгълника се разделя наполовина и се умножава по височината. И за да се намери площта на трапеца, сумата от успоредните страни се разделя наполовина и се умножава по височината. Площта на многоъгълник беше намерена чрез разделянето му на правоъгълници, триъгълници и трапеции.
Египтяните използвали и други, които давали възможност за бързо измерване на площта на парцел, като само го заобикаляли по границите, но резултатът от измерването бил получен с известна грешка. И така, площта на равнобедрен триъгълник беше изчислена по формулата
където a е страничната страна, b е основата на триъгълника. Грешката, допусната в този случай, е колкото по-малка, толкова по-близо до 90 ° е ъгълът b между страните a и b.
Тъй като от съвременната формула
знаем, че за b = 90 о sin 90 о = 1, S =. Египтяните също използваха формулата за изчисляване на площта на четириъгълник ABCD
При изчисляване на площта на четириъгълниците с помощта на тази формула е допусната грешка. Той е минимален, когато ъглите на четириъгълника са близо до десните. И в случай на правоъгълник, резултатът е точен, тъй като от формулата
SABCD = AB + CD. AD + BC с AB = CD и AD = BC
SABCD = 2AB. 2AD = AB AD.
И в случай на паралелограм, тази формула дава осезаема грешка.
Според египетската формула за площта на паралелограмите, показана на фиг. 3 и 4, вземаме равни площи на правоъгълниците, построени от страните на AD. Засенчените области показват размера на грешката при определяне на площта на успоредника в два различни случая. Ако ъгълът CBA на паралелограма е далеч от правия, тогава грешката може да се окаже незначителна.
В математическите трудове на Евклид, Херон, Брахмагупта и други е известно, че гърците и индийците са отишли далеч напред в измерването на площите в сравнение с египтяните и вавилонците. В своите „Начала“ Евклид не е използвал думата „област“, тъй като под думата „фигура“ разбира част от равнина, ограничена от една или друга затворена линия, а под понятието фигура е имал предвид и нейната площ. Евклид не изразява резултата от измерването на площта с число, той сравнява площите на различни фигури помежду си. Евклид се занимава и с превръщането на някои фигури в фигури със същия размер, оперирайки не с числа, а със самите области.
С формулата на Херон
S = p (p-a) (p-b) (p-c), където p = a + b + c
учениците са познати. И индийският математик Брахмагупта (598 - 660) искаше да изведе подобна формула за изчисляване на площта на четириъгълник. Ако обозначим площта на четириъгълник с S, полупериметъра му с p, а страните с a, b, c и d, тогава Брахмагупта приема S = p (p-a) (p-b) (p-c) (p-d), но не доказано.
Формулата на Брахмагупта е правилна за правоъгълник, тъй като само в правоъгълници p-a = b и p-b = a. Следователно
тъй като a = c, b = d. Тъй като p-a = b, p-b = a, получаваме S = ab.
Формулата на Брахмагупта не е вярна за всеки четириъгълник. Той е приложим за равнобедрен трапец и за четириъгълници, вписани в кръг, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни. Самият Брахмагупта беше внимателен при прилагането на формулата си и я използваше само за определяне на областите от горните фигури. Неговата формула, въпреки че дава само приблизителна стойност на истинския размер на площта на всеки четириъгълник, улеснява измерването на площите на парцелите, тъй като разходката около обекта по периметъра и измерването му не е трудна задача.
Проблемите с разделянето на областите на фигурите с помощта на прави линии, които ги пресичат и превръщането на една фигура в друга чрез изрязване и прекомпозиране на нови фигури от получените части, интересуват гръцките математици, тъй като геодезията и архитектурната работа поставят проблеми с подобно съдържание. Фигурата показва разделението на половината от площта на триъгълника по права линия, минаваща през един от върховете му. Площта на триъгълника е разделена от медианата на две равни части, тъй като 1 + 2 = 1H + 2H.