Изопериметрична задача - математика
2. Изопериметричен проблем
Според легендата преди много време финикийската принцеса Дидона с малка чета от хора, отдадени на нея, напуснала родния си град Тир, бягайки от преследването на брат си Пигмалион. Корабите й плавали на запад през Средиземно море и плавали, докато Дидо не забелязал удобно място за заселване на африканския бряг, в днешния Тунисски залив. [4, 13]
Царят на местните жители на Нумидианците Ярб се съгласил да продаде на Дидо само малко, по негово мнение, парче земя, „в границите на кравешка кожа“. Дидо обаче постъпи по-хитро. Тя наряза кожицата на тънки ремъци и ги завърза в една дълга лента. Тогава принцесата била изправена пред задачата как да огради парче земя от най-голямата площ с тази лента. Дидона успешно се справи със задачата и на това място основава град Картаген.
И така, Дидо трябваше да реши следния проблем:
Как трябва да бъде разположен шнур с фиксирана дължина L, така че да огражда парцел с максимална площ от прав бряг? [4, 14]
Проблемът на Дидо е частен случай на изопериметрични проблеми. Това име идва от две гръцки думи: isos - равен и perimetron - измерване, контур. Изопериметричният проблем е да се намери сред даден набор от фигури със същата дължина на контура (един и същ периметър) тази, чиято площ е по-голяма от площта на която и да е друга фигура в разглеждания комплект.
Нека разгледаме един прост пример. Нека избраният клас геометрични фигури се състои от всички триъгълници с даден периметър, тогава изопериметричният проблем е да се намери триъгълник от даден периметър с максималната площ. Такъв триъгълник е равностранен триъгълник.
Основният изопериметричен проблем е много по-сложен:
Сред всички плоски фигури на даден периметър L намерете тази с максималната площ. [5, 22]
Въпреки че отговорът на основния изопериметричен проблем изглежда очевиден, строгото му решение съдържа определени трудности. Швейцарският геометър Щайнер, който пръв доказа, че само кръг може да служи като решение на изопериметричния проблем, предположи, че съществува фигура от най-голямата площ. Това разсъждение обаче не е строго. [3, 30]