Изчисляване на ъгли Изчисляване на ъгли

Ще се справим с изчисляването на ъгли в тази статия. Дадени са и съответните формули и примери. Тази статия е част от нашето средно ниво по математика.

В математиката има многобройни формули за изчисляване на ъгли. По-долу е само списък с теми, свързани с изчисляването на ъгли, с които ще се справим по-подробно по-долу и също така ще дадем съответните формули и примери. Към темите:

Тригонометричните функции sin, cos и tan
Закон за синусите и косинус
Сума от ъгли триъгълник и квадрат
Изчислете ъгъла на рязане

1. Тригонометрични функции sin, cos и tan

Ъгловите функции могат да се използват за изчисляване на ъгли. Функциите на синус, косинус и тангенс за изчисляване на ъгъл могат да се използват само на правоъгълен триъгълник. Следващата графика ви показва такъв триъгълник. След това влизаме в изчисляването на ъглите:

Това беше триъгълник с прав ъгъл. На този етап трябва да запомните няколко термина. Те се появяват отново и отново в изчислението. Има няколко свойства, които трябва да се отбележат:

Вдясно, в долната част на триъгълника, е изчертан прав ъгъл
Означаваме ъгъла в долния ляв ъгъл като α (говорим: Алфа)
Страната "а" се нарича противоположният катетус, тъй като се намира срещу ъгъла α
Страната "b" се нарича съседна, защото лежи под ъгъл α
Страната "с" се нарича хипотенуза

Термините съседна, противоположна и хипотенуза вече трябва да са ви познати от теоремата на Питагор. Първият начин за изчисляване на ъгъла е синусът. Прилага се следната математическа зависимост:

За алфа (α) се използва ъгъл в градуси, например 20 градуса или 40 градуса.
Дължините за противоположния катетус и хипотенуза трябва да се използват в едни и същи единици, например, вмъкнете всичко в метри.
Трябва да настроите калкулатора си на DEG (градус), в противен случай ще получите грешен резултат.
Ако искате да изчислите ъгъла, трябва да работите с arcsin (вижте примери)

Пример 1 (синус):
Противоположният катетус има дължина 3 cm (a = 3 cm), а хипотенузата има дължина 5 cm (c = 5 cm). Колко е голям ъгълът α (алфа)?

Таблица, превъртаща се вдясно

Обяснения за изчислението: Поставете числата в синусовото уравнение. След това делението се изчислява от дясната страна. Получавате sinα = 0,6 градуса. Сега идва интересната част: За да се отървете от греха, трябва да използвате arcsin. Така че трябва да влезете в калкулатора arcsin 0.6 въведете. Това води до ъгъл от 36,78 градуса (ако зададете вашия калкулатор на градус).

Косинус/косинус:

След синуса стигаме до косинус/косинус. Формулата изглежда така:

Пример 2 (косинус):

Съседният катет има дължина 3 cm (b = 3 cm), а хипотенузата има дължина 5 cm (c = 5 cm). Колко е голям ъгълът α (алфа)?

Таблица, превъртаща се вдясно

Забележка за изчисляване с косинус: Поставете числата в уравнението на косинуса. След това се изчислява делението вдясно. Получавате cosα = 0,6 градуса. Сега идва интересната част: За да се отървете от cos, трябва да използвате arccos. Така че трябва да влезете в калкулатора arccos 0.6 въведете. Това води до ъгъл от 53,13 градуса (ако зададете своя калкулатор на градус).

След синус и косинус, функцията на допирателната вече е включена. Тук също на първо място формулата:

Пример 3 (тангенс):

Съседният катет има дължина 3 cm (b = 3 cm), а противоположният катет има дължина 3 cm (a = 3 cm). Колко е голям ъгълът α (алфа)?

Таблица, превъртаща се вдясно

Включете числата в уравнението на допирателната. След това се изчислява делението вдясно. Получавате тенα = 1. Сега идва интересната част: За да се отървете от загара, трябва да използвате арктан. Така че трябва да влезете в калкулатора арктан 1.0 въведете. Това води до ъгъл от 45 градуса (ако зададете своя калкулатор на градус).

2. Закон за синуса и закон за косинус

В тригонометрията законът на синусите установява връзка между ъглите на общ триъгълник и противоположните страни. Формулите за скоростта на синусите се отнасят до следната графика:

Формули на синусовия закон:

Във всеки триъгълник дължините на двете страни се държат като синусовите стойности на противоположните ъгли:

Законът на синусите често се формулира като уравнение на съотношението:

Дължините a = 5cm, b = 4cm и ъгълът α = 70 градуса са известни. Ъгълът β трябва да се изчисли.

Решение: Вземаме информацията от текста и я вмъкваме във формулата (обяснения по-долу).

Преобразуваме формулата в sin (β) и след това вмъкваме стойностите. Чрез arcsin получаваме ъгъла след това.

В тригонометрията законът на косинусите изразява връзка между трите страни и ъгъл в триъгълника. Формулите за косинусовия закон се отнасят до следната графика:

Формули на косинусовия закон:

В тригонометрията законът на косинусите свързва трите страни на триъгълника с косинуса на един от трите ъгъла на триъгълника. Формулата за това изглежда така:

Дадени са A = 11, b = 10 и c = 13. Ъгълът α трябва да се изчисли. По-долу можете да видите решението на тази задача, обясненията следват по-долу:

Първо пренареждаме формулата така, че cos (α) да е от едната страна на уравнението, а цялата друга информация от другата. След това вмъкваме стойностите и изчисляваме информацията. Последното нещо, което трябва да направите, е да използвате arccos, за да получите ъгъла.

3. Сума от ъгли триъгълник и квадрат

Нека започнем с триъгълник. Това има три страни и три ъгъла. Следващата графика ви показва как изглежда триъгълник:

Следното е интересно за ъглите: Сумата от всички ъгли в триъгълник е 180 градуса. Това означава:

Пример: Знаете, че алфа ъгълът е 60 градуса, а бета ъгълът е 90 градуса. Тогава ъгълът на гама трябва да е 30 градуса, защото 60 градуса + 90 градуса + 30 градуса = 180 градуса.

Нека започнем с дефиницията на квадрат: Равна фигура, затворена от четири линии, се нарича квадрат. Четирите линии се наричат страните на квадрата. Ако две страни са една до друга, те имат обща ъглова точка. Главните букви A, B, C и D обикновено се присвояват на тези ъглови точки. Освен това ъгли се изчертават в квадрата в математически положителен смисъл. Това са α (произнася се: алфа), β (произнася се бета), γ (произнася се: гама) и δ (произнася се: делта). Линиите, които образуват квадрата, също са обозначени с a, b, c и d.

Следващата графика ви показва квадрата:

Свойства на квадрата:

обхват: Сумата от всички дължини на линии се нарича обиколката на квадрата.
- обхват = a + b + c + d

Сума на ъгъла: Ако добавите сумата от всички вътрешни ъгли - вижте графиката по-горе - получавате 360 градуса, като кръг
- Сума на ъгъла = 360 ° = α + β + γ + δ

информация: Четириъгълникът има четири ъгъла, четири вътрешни ъгъла и четири ограничителни сегмента.

4. Изчислете ъгъла на рязане

Векторното изчисление също е свързано с изчисляване с ъгли. По-долу ще разгледаме как да изчислим ъгъла на пресичане между две прави линии и ъгъла на пресичане между права и равнина.

Ъгъл на рязане две прави линии:

Може да изглежда напълно логично за повечето, но за пълнота трябва да се посочи условие за изчисляване на ъгъла на пресичане на две прави линии: двете прави линии трябва изобщо да се пресичат. Ако имаме две прави линии в пространството, които не се пресичат никъде, е безсмислено да се изчислява ъгъл на пресичане за тях. Освен ако в задачата не е изрично посочено, че две прави линии се пресичат, можете да проверите това сами (вижте нашата статия Пресичане на две прави линии).

Ако сега е гарантирано, че има пресечна точка, вече можете да започнете да изчислявате ъгъла на пресичане. Първо малка графика, последвана от формулата за изчисляване на ъгъла:

Формула за изчисляване на ъгъла на рязане:

Ъгълът на пресичане φ на правите линии g1 и g2 със съответните им вектори на посоката се изчислява, както следва:

Важно: Преди да използвате arccos, трябва да настроите калкулатора на DEG или DEGREE.

По-нататък трябва да се изчисли ъгълът на пресичане между две прави линии. Забележка: В нашата статия Пресичане на две линии вече беше показано, че двете линии изобщо се пресичат.

Ъгъл на рязане: прав към равнината

В този раздел трябва да научите как да изчислите ъгъла на пресичане между права и равнина. Първо ще ви предоставим общата формула и пример за по-добро разбиране.

Формула: Ъгъл на пресичане права линия до равнина

Забележка: Изчислението може да се извърши особено лесно, ако равнината е дадена в координатна форма. Ако е необходимо, можете също да конвертирате ниво. Вижте Преобразуване на параметрично уравнение в координатно уравнение.

Дадени са равнина E и права линия g. Трябва да се изчисли ъгълът на пресичане между равнината и правата линия.

Решение: Вземаме нормалния вектор от равнината и след това вмъкваме цялата необходима информация в уравнението за изчисляване на ъгъла.