Инвариантни фактори на полиномиална матрица (λ-матрица) - MathHelpPlanet
Дискусии и решаване на проблеми по математика, физика, химия, икономика
Часова зона: UTC + 3 часа [лятно часово време]
Въведение в анализа
Теория на опашките (QS)
Нека [math] A (\ lambda) [/ math] е λ -матрица от порядък n. Всеки второстепенен в тази матрица е полином в променливата [math] \ lambda [/ math]. Спомнете си, че рангът на λ-матрицата е максималният ред на минор, който не е идентично нула, т.е. [math] \ operatorname A (\ lambda) = r [/ math], ако матрицата [math] A (\ lambda) [/ math] съдържа минор от ненулев r-ти ред и всички непълнолетни от по-висок ред са идентично нула или не съществува.
Обозначаваме с [math] d_k (\ lambda) [/ math] най-големият общ делител на второстепенните k-ти ред на λ-матрицата [math] A (\ lambda) [/ math]. За определеност ще приемем, че водещите коефициенти на полиномите [math] d_k (\ lambda) [/ math] са равни на единица. Имайте предвид, че в колекцията от полиноми
където [math] r = \ operatornameA (\ lambda) [/ math], всеки следващ полином се дели на предишния.
В действителност, разширявайки всеки пореден второстепенен k-ти ред, получаваме сумата от непълнолетните от (k-1) -ти ред, взети с някои коефициенти. Тъй като всеки минор от (k-1)-ия ред се дели на [math] d _ (\ lambda) [/ math], цялата сума ще се дели на [math] d _ (\ lambda) [/ math]. Следователно всеки k-ти ред на минора се дели на [math] d _ (\ lambda) [/ math]. Следователно най-големият общ фактор [math] d _ (\ lambda) [/ math] също се дели на [math] d _ (\ lambda) [/ math]. Многочлени
се наричат инвариантни фактори на λ-матрицата A (X). Тук [math] r [/ math] е рангът на λ -матрицата [math] A (\ lambda) [/ math] .
Теорема 7.3 за инвариантни фактори. При елементарни трансформации на λ-матрицата нейните инвариантни фактори не се променят.
Достатъчно е да се покаже, че елементарните трансформации не променят полиномите [math] d_1 (\ lambda), d_2 (\ lambda), \ ldots, d_r (\ lambda) [/ math]. Това доказателство повтаря почти дума по дума доказателството на теорема 3.3. В действителност, при едно елементарно преобразуване (тип I, II или III) на матрицата [math] A (\ lambda) [/ math], който и да е от неговия второстепенен k-ти ред или не се променя, или променя знака на противоположния, или съвпада с друг минор от k-тия ред, или се оказва равен на сумата на две непълнолетни от k-тия ред (взети с някои фактори). Нито едно от тези действия не може да промени най-големия общ делител [math] d_k (\ lambda) [/ math]. Оттук следва, че съотношенията (7.11) на най-често срещаните делители не се променят.