Хиперболични комплексни числа, Наука, FANDOM, задвижвани от Wikia

Помислете за система от комплексни числа, в която операцията за умножение има формата: $ z_ \ cdot z_2 = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2 + i (x_1 \ cdot y_2 + x_2 \ cdot y_1), $ където
$ z_1 = x_1 + i \ cdot y_1, $
$ z_2 = x_2 + i \ cdot y_2. $
Ще го наречем хиперболична система комплексни числа.
Нека покажем, че тази система е комутативен пръстен с нулев делител, намерете местоположението на точките с нулев делител на този пръстен.
Нека си припомним някои определения:
Множество $ T $ с две двоични алгебрични операции $ $ се нарича пръстен, ако $ T (+) $ е абелева група и $ \ forall a, b, c \ в T $ държи $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ и $ (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c $
Определение. Множество G с двоична алгебрична операция> се нарича комутативна (абелева) група, ако са изпълнени 4 аксиоми:
1) Асоциативност, т.е. $ (a * b) * c = a * (b * c) $
2) $ \ съществува e $ е неутрален елемент, такъв че $ e * a = a * e = a $ $ \ forall a \ in G $
3) $ \ forall a \ in G $ $ \ съществува $ обратно на $ a ^ $, така че $ a * a ^ = a ^ * a = e $
4) $ a * b = b * a $ $ \ за всички $ $ a, b \ в G $
I. Нека покажем, че системата H на хиперболични комплексни числа е абелева група за събиране
! $ z_1 = x_1 + iy_1 $ $ z_2 = x_2 + i y_2 $ $ z_3 = x_3 + i y_3 $, където $ x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3 \ in \ mathbb $
1) $ \ Rightarrow) $ $ (x_1 + i y_2) + ((x_2 + i y_2) + (x_3 + i y_3)) = (x_1 + i y_1) + (x_2 + x_3 + i (y_2 + y_3)) = x_1 + x_2 + x_3 + i (y_1 + y_2 + y_3) $
$ \ Leftarrow) $ $ ((x_1 + i y_1) + (x_2 + i y_2)) + (x_3 + i y_3) = (x_1 + x_2 + i (y_1 + y_2)) + (x_3 + i y_3) = x_1 + x_2 + x_3 + i (y_1 + y_2 + y_3) $
2) Нека покажем, че $ \ съществува $ e е неутрален елемент:
$ z + e = e + z = z $
! $ z = x + iy $ и! e = 0
$ (x + iy) + 0 = 0 + (x + iy) = x + iy $ $ \ Rightarrow $ в H $ \ съществува $ e-неутрален елемент:
3) Нека покажем, че в H $ \ съществува $ обратният елемент:
$ \ forall z \ in H $ $ \ съществува z ^ $: $ z + z ^ = z ^ + z = e $
! $ z = x + iy $
Вземете като $ z ^ $: $ z ^ = - x-iy $ Тогава $ x + iy + (- x-iy) = (- x-iy) + (x + iy) = 0 $ $ \ Rightarrow $ в H $ \ съществува $ обратен елемент
4) Нека покажем, че H-комутативната (абелева) група по>
Проверете свойството: $ \ forall z_1, z_2 \ in H $ $ \ Rightarrow $ $ z_1 + z_2 = z_2 + z_1 $
! $ z_1 = x_1 + iy_1 $ и $ z_2 = x_2 + iy_2 $
$ x_1 + iy_1 + x_2 + iy_2 = x_1 + x_2 + i (y_1 + y_2) = x_2 + x_1 + i (y_2 + y_1) = x_2 + iy_2 + x_1 + iy_1 $ $ $ \ Rightarrow $ Имотът се изпълнява $ \ Rightarrow $ H (+) - комутативна (абелева) група
II. Нека покажем, че H удовлетворява свойствата:
1) $ (z_1 + z_2) \ cdot z_3 = z_1 \ cdot z_3 + z_2 \ cdot z_3 $
2) $ z_1 \ cdot (z_2 + z_3) = z_1 \ cdot z_2 + z_1 \ cdot z_3 $ $ \ forall z_1, z_2, z_3 \ в H $

---