Гравитационно изчисление, формули, примери гравитация, гравитационно ускорение, гравитационно ускорение,
Причините и появата на явлението, което наричаме гравитация или гравитация, няма да бъдат обсъждани допълнително на този етап. Това е просто въпрос на изчисляване на силата на гравитацията, която действа върху масивно тяло, което е върху или над повърхността на сферично небесно тяло. Следващите съображения не се отнасят за тела, които са разположени дълбоко под повърхността (например в много дълбок вал), тъй като гравитационните сили на скалата над и под нея след това действат в противоположни посоки. (За земните шахти на реалистични дълбочини обаче ускорението на гравитацията на повърхността може да се използва като добро приближение.)
2. Основни положения
Две тела с масите m_1 и m_2 се привличат взаимно със силата F_G поради гравитацията, при условие че между тях не действат допълнителни сили (напр. Електростатични сили). Това може да се изчисли от масите m_1 и m_2, разстоянието x между техните центрове на тежестта и универсалната гравитационна константа G:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6,670 * 10 ^ -11 N * m ^ 2/kg ^ 2 (или m ^ 3/kg/s ^ 2)
За тяло K, което е на повърхността на небесно тяло HK, x е равно на радиуса r_HK на небесното тяло:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1а)
Ако тялото (например камъче) е лишено от опората си (то е изпуснато), то то се ускорява от гравитацията с ускорение ("гравитационно ускорение") a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
където r_HK трябва да бъде заменено с x = r_HK + h_K, ако въпросното тяло е на височината h_K над повърхността на небесното тяло.
Според уравнение (2) a_G не зависи от масата на тялото m_K. Следователно всички тела падат с еднаква скорост (ускорена), при условие, че не са спирани в различна степен от различно въздушно съпротивление.
3. Примери: земя и луна
3.1 Гравитационно ускорение (гравитационно ускорение) на повърхността
За земята се прилага:
m_Er = (5.979 + - 0.004) * 10 ^ 24 кг
r_Er = (6.3713 + - 0.0004) * 10 ^ 6 m
(Средна стойност)
От това може да се увеличи гравитационното ускорение на тяхната повърхност („гравитационното ускорение“)
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 m/s ^ 2
Всъщност измереното гравитационно ускорение е различно поради въртенето на земята. Поради центробежната сила земята е донякъде сплескана на полюсите, така че r_Er е малко по-малка тук и малко по-голяма на екватора. Освен това, започвайки от полюсите, центробежната сила, нарастваща към екватора, противодейства на гравитационното привличане.
a_G, Er, полюс = (9.851 + - 0.010) m/s ^ 2
a_G, Er, среда = (9.807 + - 0.009) m/s ^ 2
a_G, Er, екватор = (9.750 + - 0.010) m/s ^ 2
Следните стойности се отнасят за Луната:
m_Mo = (7.354 + - 0.066) * 10 ^ 22 кг
r_Mo = (1,738 + - 0,001) * 10 ^ 6 m
a_G, Mo, среда = (1.620 + - 0.015) m/s ^ 2
(Средна стойност)
3.2 Гравитационно ускорение на големи височини и спътници: Изчисляване на орбиталната скорост в орбита
Сателитите и космическите станции обикновено обикалят около Земята на височина "само" на няколко 100 км. Колко голямо е гравитационното ускорение a_G в напр. h_K = 250 км надморска височина?
Разстоянието от центъра на земята е с 250 км или 250 000 м повече, отколкото на земната повърхност:
x = r_Er + h_K = 6 371 300 m + 250 000 m = 6 621 300 m
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 m/s ^ 2
На височина 250 км ускорението поради гравитацията все още е почти 93% от ускорението поради гравитацията на земната повърхност. Така че в никакъв случай не съществува гравитация „там горе“. Всъщност идеята, че едно тяло в даден момент ще напусне земното гравитационно поле или ще се изнесе от земното гравитационно поле, е погрешна, тъй като гравитационното поле става по-слабо с нарастващото разстояние, но по принцип се простира безкрайно далеч.
Тогава защо сателитът просто не падне?
Сателитите са в орбита, в която центробежната сила и гравитацията са в баланс, така че спътникът нито да бъде хвърлен в космоса, нито да падне. В най-простия случай сателитната орбита е кръгла и центробежната сила F_Z може да се изчисли от радиуса на орбитата r_Ba, масата на спътника m_Sat и скоростта на спътника v_Sat:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
докато гравитационната сила F_G, действаща върху спътника, следва от (1) и (1а):
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
От F_Z = F_G
(Баланс на силите!) Следва:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Чрез съкращаването му получавате:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = корен (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
следва за v_Sat на височина 250 км:
v_Sat = корен (m_Er * G/(6 371 300 + 250 000) m)
v_Sat = 7761 m/s = 7,761 km/s
3.3 Енергия, необходима за извеждане на сателит в орбита
Сателит на приблизително кръгла орбита на височина 250 км се движи около 8 км по-нататък за една секунда, със значителна скорост. За да се премести сателит в такава кръгова орбита, той трябва да бъде преместен на 250 км нагоре срещу силата на гравитацията и в същото време да бъде ускорен до орбиталната си скорост. За сателит от 1 t това означава, че към него трябва да се доставят следните количества енергия:
Увеличение с 250 км:
приблизително 2,4 * 10 ^ 9 J = 650 kWh
Ускорете до 7,76 км/сек:
приблизително 3,0 * 10 ^ 10 J = 8370 kWh
Всичко на всичко:
приблизително 3,2 * 10 ^ 10 J = 9020 kWh
За сравнение: 9000 kWh е количеството електрическа енергия, което две четиричленни семейства консумират средно за една година или количеството енергия, което се отделя при изгаряне на около 1 т бензин, дизел или отоплително масло.
Всъщност трябва да се използва много повече енергия. Не можете просто да оборудвате сателита с електрически мотор и захранващ кабел и след това да го изпратите по пътя си, трябва да го „изстреляте“ с ракета. Това означава: Ракетата и горивото също трябва да бъдат повдигнати и ускорени, докато ракетният компонент (ракетната степен) или въпросният горивен компонент не бъдат изхвърлени или изразходвани. Това увеличава неимоверно енергийните разходи и това е причината, поради която сателитното изстрелване изисква няколко 100 t гориво и кислород вместо 1 t гориво (1 t се отнася за керосин, а не за водород) (плюс почти 2 t кислород за горене) ще.
3.4 Елиптични орбити и скорост на бягство
Повечето сателитни орбити не са точно кръгови, но сателитите са ускорени до малко по-висока скорост, отколкото би било необходимо за кръгова орбита. В резултат на това те се отдалечават от земята (преобладава центробежната сила), при което енергията за увеличаване на надморската височина е за сметка на тяхната кинетична енергия, при което те стават малко по-бавни и центробежната сила намалява. В резултат на това в някакъв момент гравитацията възвръща надмощие и спътникът отново губи височина, ускорявайки се обратно до първоначалната си скорост и играта започва отново. По този начин се създава елиптична орбита. Евакуационната скорост е граничната скорост, при която земята (или друго небесно тяло) вече не успява да забави спътника до такава степен, че гравитацията отново да надвишава центробежната сила. Тогава въпросният спътник вече не би бил сателит, а истински космически кораб, който оставя своята планета напр. да се насочи към друго небесно тяло.
За да се изчисли скоростта на бягство, изхождаме от следния подход: Кинетичната енергия E_kin, RF на космическия кораб RF, дадена от масата m_RF и скоростта на бягство v_RF, fl, трябва да бъде равна на разликата между потенциалните енергии Dif_E_pot, RF на космическия кораб между безкрайното разстояние и текущото му местоположение:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = интеграл [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
След решаването на интеграла следва:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = корен (2 * m_HK) * G/r_HK
Няма значение дали космическият кораб се движи перпендикулярно от небесното тяло със скорост на бягство или по спирална пътека. Ако космическият кораб продължи да лети без задвижване, скоростта му намалява с увеличаване на разстоянието от небесното тяло до степен, че скоростта му винаги е същата като скоростта на бягство, валидна за текущото разстояние.
За земята скоростта на бягство на повърхността (чисто теоретично, тъй като там тяло се забавя от триенето на въздуха) е 11189 m/s, при височина 300 km 10934 m/s. На практика обаче космическата сонда ще бъде ускорена до малко по-висока скорост, така че да се отдалечи от земята към целта си достатъчно бързо.
3.5 Лунни спътници и кацане на Луната
Поради значително по-ниската гравитация на Луната, лунните спътници се справят с много по-ниски орбитални скорости от земните спътници. Майката на Аполон изпраща напр. обиколи Луната на височина около 15 км. Ако приемем кръгова орбита, това води до скорост от 1673 m/s. Постигането на такава орбита изисква много по-малко енергия от орбита около Земята, така че беше възможно да се върнете на основния кораб с относително малкия модул за нулиране. Но дори и тук почти половината от излетното тегло се отчиташе от горивото.
Ако ви се иска, можете сами да изчислите съответните данни за Марс от m_Ma = (6.418 + - 0.024) * 10 ^ 23 kg и r_Ma = (3.38 + - 0.02) * 10 ^ 6 m.
3.6 Неутрална точка между Земята и Луната
"Неутралната точка" между Земята и Луната е точката на права линия от Земята до Луната, при която гравитационната сила на Луната и тази на Земята просто се уравновесяват, така че тяло, което не би било там, нито от една страна, нито ще бъде привлечен към другото небесно тяло. Изчисляването на това къде е тази точка е с o.A. Уравнения (почти) бриз.
Тъй като Луната е и вид спътник (макар и доста голям), тя също се движи по орбита около Земята, а именно по леко елиптична. Тъй като лунната орбита не е точен кръгов път, разстоянието между Луната и Земята се колебае в определен диапазон, а именно между около 363 000 и 406 000 км. За по-нататъшно изчисление избираме средното разстояние от 384 403 км.
И сега изчислението: В "неутралната точка" между Земята и Луната ускорението поради гравитацията на двете небесни тела е еднакво:
С уравнение (2), ако x_Er, NP и x_Mo, NP са разстоянията от земята или луната до "неутралната точка":
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Съкращаването и преобразуването на уравнението дава:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = корен (m_Er/m_Mo)
Със стойностите за m_Er и m_Mo получавате:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9,017
"Неутралната точка" е 9 пъти по-далеч от земята, отколкото от Луната.
За да изразим всичко в километри, приемаме средното разстояние луна-земя от 384 403 км:
x_Er, NP = 384 403 км * 9,017/(9,017 + 1) = 346 028 км
x_Mo, NP = 384 403 км * 1 000/(9 017 + 1) = 38 375 км
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384 403 км
4. Изчисляване на гравитационното ускорение от повърхностната гравитация
Масата на небесното тяло HK не е известна. но гравитационното му ускорение на повърхността a_G, HK, Oberfl, то гравитационното ускорение a_G (h) на височина h може да се изчисли, както следва:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Източници (цифри и данни)
Weast: Наръчник по химия и физика, 64-то издание, CRC Press, 1983-84