Диференциални уравнения
Диференциално уравнение описва промяната в променлива на състоянието, напр. в зависимост от времето. Промяната в променливата на състоянието се описва от деривацията. Има няколко форми на диференциални уравнения. Някои от тях трябва да бъдат описани накратко. DGL по-долу е пример за изричен DGL от първи ред. Изрично означава, че производната може да бъде изолирана и да стои самостоятелно от едната страна на уравнението. Терминът 1-ви ред означава, че само първата производна влиза в уравнението.
Следващото уравнение е DGL от 2-ри ред.
Следващото диференциално уравнение е изрично, линейно уравнение от първи ред. Линейно означава, че променливата на състоянието X (t) е линейна.
Следващото уравнение вече не е линейно.
Решаването на диференциални уравнения се извършва чрез интегриране, ако това е възможно. Процесите на решение често изискват обширни трансформации на първоначалните уравнения. В повечето симулационни програми DGL се решават с помощта на методи за числово сближаване (Euler-Cauchy или Runge-Kutta). Тези приблизителни решения понякога водят до големи неточности или дори до напълно грешни резултати.
Човек говори за растеж, ако, за всички. Една от най-простите форми на растеж е експоненциалният растеж. Тук се приема, че промяната е пропорционална на наличната маса (или брой). Ако напр. Като се има предвид бактериална популация, при първия подход може да се приеме, че два процеса определят растежа: бактериите се размножават и те умират. Увеличението зависи от това колко бактерии са присъствали преди това, както и намаляването. Сега можем да въведем смъртност и раждаемост (процент на деление и т.н.) и да комбинираме двата процеса в темпа на растеж r.
За да се реши това уравнение, трябва да се отбележи, че производната на естествения логаритъм (ln (x)) е дадена от и трябва да се приложи и правилото на веригата. Първо извеждаме X (t) в лявата част на уравнението.
В лявата част на уравнението е производната на ln (X (t).
(Всеки, който има проблеми с разбирането, може да го преизчисли чрез диференциране.)
Вече можем да интегрираме и двете страни чрез t, ние избираме 0 до s като обхват на интегриране.
Делогаритмизиране всяка страна на уравнението води до
С това е определено решението на уравнението на експоненциалния растеж. Изразът X (0) е началната стойност за променливата на състоянието. Ако погледнете растежа на населението, това е началният размер на населението. Ако r е по-голямо от нула, тогава популацията расте експоненциално. Ако, от друга страна, r е по-малко от нула, тогава има експоненциално разпадане; населението измира.
За разлика от експоненциалния растеж, логистичният растеж отчита факта, че нито един растеж не може да продължи безкрайно. По-скоро в един момент ще бъде достигната граница на капацитет K, която не може да бъде надвишена. Ако погледнете растежа на бактериите в хранителен разтвор, тогава хранителните вещества са достатъчни само за определен брой бактерии. Ако този праг бъде достигнат, популацията не се увеличава повече. Следователно в природата често може да се наблюдава S-образен ход на кривата на растеж. Диференциалното уравнение, което отразява такава крива, е уравнението на логистичния растеж:
Параметърът за растеж r и границата на капацитета K могат да се комбинират, за да образуват нов параметър. Тази форма на уравнението също се среща често.
Ако погледнете уравнението за логистичен растеж, се забелязва следното: Докато X (t) е все още малък, можете да пренебрегнете продукта, защото той е само по-малък (защото:!). Следователно уравнението първоначално се държи като уравнението на експоненциалния растеж и едва след това се изравнява. Уравнението за логистичен растеж е разрешимо. По принцип продължавате както преди. Приведете всички членове с X (t) в лявата част на уравнението.
Не можете да интегрирате сега, защото X (t) се среща в продукта в знаменателя. Това, което искате да постигнете, е, че продуктът се разтваря и замества с израз като. За това се използва добре познатото разлагане на частична фракция. Правим това по следния начин:
Има константи A и B, така че:
Сега довеждаме фракциите от дясната страна на уравнението до общ знаменател.
трябва да е същото. Знаменателите са еднакви, така че трябва да настроите числителя. Сега се извършва сравнение на коефициенти. Това не означава нищо повече от сравняване на степента на X (t) от двете страни на уравнението и коригиране на параметрите A и B, така че условията за всяка потентност да съвпадне.
Първо започвате с константите:
Вляво е AK, вдясно 1. Човек изисква равенство: AK = 1 и по този начин. Това означава, че параметър A вече е зададен.
След това се преминава към X (t).
В лявата част на уравнението, преди X (t), има променливата - A + B. От дясната страна няма израз с X (t); по този начин стойността е 0. Това води до: - A + B = 0 и A = B. С това сте определили двата израза за A и B и можете да ги вмъкнете в уравнението (*). Резултатът е изразът:
Сега можете да интегрирате:
Това уравнение може да бъде допълнително трансформирано, за да улесни оценката. Изразът, който е елиминиран, се появява първо в числителя и знаменателя. (Забележка може да се запише и като:)
Все още е досадно, че дробът се среща и в числителя, и в знаменателя.
С увеличаването на s се приближава до нула. Системата се стреми към ограничението на капацитета К. .
Досега е разгледано само едно изолирано количество. В действителност процесите не могат да протичат изолирано, а по-скоро се влияят от други променливи. Има много определения на термина система. По същество системата съдържа елементите и тяхното поведение заедно с взаимодействията помежду си. Прави се разлика между следното:
Типове системи
- изолирани
Казва се, че една система е изолирана, когато няма вход и изход. Т.е. той не обменя енергия или материя с околната среда. Изолираните системи се използват като идеализации в икономиката, физиката и химията (термодинамика). - завършен
Системата обменя само енергия, а не материя, с околната среда. - отворен
Системата обменя материя (и енергия) с околната среда. Живите същества могат да се разглеждат като отворени системи. В контекста на отворените системи все още има разграничения - адаптивна
Системата не се разрушава от процеса на обмен на материя (и енергия). - стационарен
Свойствата и следователно състоянията на системата не зависят от времето. За разлика от това, има и свойството: - динамичен.
Размерите на системата се променят с течение на времето.
Взаимодействия, положителни и отрицателни отзиви
Ако две (или повече) величини си влияят една на друга, тогава има взаимодействие. Ефектът от връзката може да бъде полезен или вреден за отделните страни и по този начин да бъде положителен или отрицателен.
По-нататък разглеждаме по една популация от планински зайци и рисове. Ние също така приемаме следните изисквания:
- Запасите от храна на планинските зайци са неограничени.
- Следователно, ако планинските зайци не бъдат изядени от рис, те ще растат със скорост b. Прирастът е пропорционален на плътността (или броя) на зайците. Следното се отнася за системата:
Планински зайци без рис:
Моделът идва от Лотка (1910; 1925) и е бил използван за описване на връзката между зайци и рисове в район в Канада. (Една компания за кожи се интересуваше много от тази тема и предостави данни) Тези уравнения не са изрично разрешими. Те могат да бъдат представени с помощта на цифрово приближение (Runge-Kutta или подобно). Или обикновено можете да проверите как системата се държи в зависимост от параметрите b, m, r и началните стойности за популациите. Следващият раздел обяснява основната процедура.
Точките на равновесие на системата са нулите на диференциалните уравнения, с които е описана системата. Това означава, че те са местата, където няма повече видими промени. Всички промени продължават да се изпълняват, но те се анулират взаимно. Ако човек гледаше само една популация, динамичното равновесие би било мястото, където ражданията и смъртта напълно се балансират. Въпреки че хората все още умират и се раждат, не се забелязва промяна на нивото на цялото население. Равновесия от този тип също се наричат динамични равновесия. Като първи пример, нека разгледаме логистичния растеж
също и точките на равновесие: и. Или да го кажа по друг начин: ако няма население, тогава очевидно и то не може да расте. Същото се отнася и за ограничението на капацитета.
Следното трябва да се прилага за системата хищник-плячка от горния раздел:
и това едновременно.
Нека започнем с първото уравнение за рис.
Така че или F (t) = 0, или (- m + rH (t)) = 0. Вторият термин е синоним на. Сега трябва също да отбележим, че второто уравнение за заешката популация също трябва да е нула.
Взимаме точките на равновесие на първото уравнение една по една и ги вмъкваме във второто. Първата точка води до изискването:
Втората точка води до:
Разследването на глобалната стабилност често е тромаво. Местният може да бъде изследван по-лесно. За това трябва да се въведе малко отклонение.
Започваме с едномерния случай на DGL.
Баланс точки са всички точки с. Търсим нулите на f. Сега искаме да знаем кога е локално стабилен, т.е.при какви обстоятелства X (t) се връща след леко отклонение. За целта се извършва разширяване на серията на Тейлър около точката на равновесие. Поредицата Тейлър е до известна степен и числено приближение. Предполага се, че системата (или по-скоро DGL) в близост до равновесната точка може да бъде описана с производни от f до X.
Сега човек пренебрегва всички членове от по-висок ред и прави линейно приближение. По принцип не претендираме за нищо друго, освен че наклонът на f в равновесната точка и размерът на отклонението могат да бъдат апроксимирани (ако някой беше начертал f (x) срещу X, в известен смисъл би начертал права линия с наклона през точката на равновесие). Това работи само докато сте близо, в противен случай квадратичните и кубичните термини наддават на тегло и вече не можете да ги пренебрегвате. Следователно с това може да се изследва местната стабилност. Така че ние разглеждаме:
и искаме да знаем дали ще се върнем към точката на равновесие. Първо задаваме, защото това прави уравненията по-ясни. Имаме Z '(t) = X' (t) и по този начин
По този начин имаме линейно уравнение от 1-ви ред и можем да интегрираме (вижте раздел за експоненциален растеж).
Ако тогава има експоненциален растеж, системата не се връща и точката на равновесие е нестабилна. Ако има експоненциално разпадане, системата се връща в точката на равновесие след първоначалното смущение. Въпросът е стабилен. Прилага се, в началото не може да се каже нищо повече.
Процедурата се нарича още изследване на линейна стабилност.
Нещо подобно на това в едномерния случай може да се извърши и в случая с по-голямо измерение. Ако имате две свързани променливи на състоянието (напр. Рис () и зайци ()), първо трябва да определите нулите на и. Това означава, че търсите всички с и. Можете също така да комбинирате двете уравнения и да ги запишете като векторно уравнение.
След като нулите бъдат определени, разширяването на поредицата на Тейлър може да се извърши отново. Така че отново определяме първата производна на f по отношение на X. Има разлика в сравнение с едномерния случай: Функцията f е съставена от две функции и тези функции от своя страна зависят от две величини. За да се определи общата производна (обозначена с Df (X)), функциите трябва да бъдат изведени една след друга и поставени в следния ред.
Следователно изразът Df (X) се нарича още производна матрица на f (X). Формално може да бъде пренаписано както по-горе:
Това уравнение може да бъде интегрирано отново, но това изисква по-обширно въведение. По-точно: Решението е както в едномерния случай:
Изразът, който става тромав, създава проблеми. Сега системата обикновено се трансформира, за да улесни изчисляването. Това се прави с помощта на собствените стойности и собствените вектори на матрицата. Въведение в тази тема обаче би отнело твърде много време на този етап, така че тук са дадени само резултатите. Следното е:
Ако: и се прилага, тогава равновесната точка е стабилна и системата тече към нея. Това може да стане или монотонно, или с вибрации.
Прилага се:
и тогава равновесната точка е стабилна и системата я орбитира. Амплитудата на кръга или трептенето зависи от началните условия за X (t).
За илюстриране на процедурата, системата хищник-плячка е показана като пример.
На първо място, един произлиза от F (t). H (t) се третира като константа.
Тогава се извежда H (t) (в този случай F (t) се третира като константа).
И накрая, и двете все още се изпълняват за.
Това ни дава системната матрица:
Двете точки на равновесие се вмъкват една след друга в израза.
1) .
Това означава, че и. Тъй като и m, и b са по-големи от нула, нулевата точка не е стабилна.
2)
Ами е и. С m, b; SPMgt; 0 той счита, че втората точка на равновесие е стабилна. Системата обаче не го достига, а го обикаля по пътеки, чийто радиус зависи от началните условия.
и: равновесна точка асимптотично стабилна.
и: равновесната точка е закръглена.
: Точката на равновесие е нестабилна